QUESTÃO 1

A análise de erros é uma abordagem de pesquisa, mas também uma metodologia de ensino, podendo ser empregada quando se detectam dificuldades na aprendizagem dos alunos e se quer explorá-las em sala de aula.
CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos.
3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2019 (adaptado).
Considere que durante uma aula no Ensino Médio o professor resolveu recordar alguns conceitos relacionados a matrizes, como adição, multiplicação, transposta, inversa e determinante. No início da aula, o professor escreveu duas matrizes. A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 5\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}4 & 7 \\\\ 8 & 3\end{array}\right) e solicitou que os alunos fizessem A \cdot B \mathrm{e}(A \cdot B)^{\text {₹ }}. Para sua surpresa alguns alunos apresentaram os dois erros descritos a seguir:
\begin{gathered} \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 5 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll} 4 & 7 \\\\ 8 & 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 4 & 14 \\\\ 24 & 15 \end{array}\right) \\\ (A \cdot B)^{t}=A^{t} \cdot B^{t} \end{gathered}
Após fazer a avaliação dos erros cometidos pelos alunos, o professor verificou que a origem dos erros está na incompreensão
A do conceito de transposta.
B do conceito de determinante.
C da estrutura da operação inversa.
D da estrutura da operação de multiplicação.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}4 & 7 \\[4pt] 8 & 3\end{pmatrix}
e pede que os alunos calculassem A\cdot B e (A\cdot B)^{t}. Alguns alunos apresentaram os dois resultados abaixo como incorretos:
\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4 & 7 \\[4pt] 8 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 14 \\[4pt] 24 & 15\end{pmatrix}
e a afirmação
(A\cdot B)^{t}=A^{t}\cdot B^{t}.
A questão pergunta qual é a origem da incompreensão dos alunos, com as alternativas:
A) conceito de transposta;
B) conceito de determinante;
C) estrutura da operação inversa;
D) estrutura da operação de multiplicação.]

Passo 2

Vamos entender bem como funciona a multiplicação de matrizes (passo-a-passo didático). Regra geral: para duas matrizes A de tamanho m\times n e B de tamanho n\times p, o produto A\cdot B é uma matriz m\times p cuja entrada na linha i e coluna j é o produto escalar da linha i de A com a coluna j de B. Em notação:
(A\cdot B)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.
O que isso significa, em palavras: pegue a i-ésima linha de A, pegue a j-ésima coluna de B, multiplique termo a termo e some os resultados. Exemplo genérico: para matrizes 2\times2,
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}e & f \\[4pt] g & h\end{pmatrix},
temos
A\cdot B=\begin{pmatrix} a\cdot e + b\cdot g & a\cdot f + b\cdot h \\[4pt] c\cdot e + d\cdot g & c\cdot f + d\cdot h \end{pmatrix}.
Observe que isto NÃO é a multiplicação termo a termo (essa outra operação existe e chama-se produto de Hadamard, mas não é a multiplicação usual de matrizes usada em álgebra linear).]

Passo 3

Agora aplicamos a regra ao caso concreto. Usando
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}4 & 7 \\[4pt] 8 & 3\end{pmatrix},
calculamos cada entrada de A\cdot B com a fórmula (A\cdot B)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} A_{ik}B_{kj}:
  • Entrada (1,1):
(A\cdot B)_{11}=1\cdot 4 + 2\cdot 8 = 4 + 16 = 20.
  • Entrada (1,2):
(A\cdot B)_{12}=1\cdot 7 + 2\cdot 3 = 7 + 6 = 13.
  • Entrada (2,1):
(A\cdot B)_{21}=3\cdot 4 + 5\cdot 8 = 12 + 40 = 52.
  • Entrada (2,2):
(A\cdot B)_{22}=3\cdot 7 + 5\cdot 3 = 21 + 15 = 36.
Portanto
A\cdot B=\begin{pmatrix}20 & 13 \\[4pt] 52 & 36\end{pmatrix}.]

Passo 4

Compare isso com o resultado que os alunos deram:
\begin{pmatrix}4 & 14 \\[4pt] 24 & 15\end{pmatrix}.
Veja como cada entrada aí foi obtida: (1,1)=1\cdot 4, (1,2)=2\cdot 7, (2,1)=3\cdot 8, (2,2)=5\cdot 3. Ou seja, os alunos multiplicaram termo a termo (elemento de A com elemento correspondente de B) — isto é o produto de Hadamard — em vez de aplicar o produto “linha por coluna” da multiplicação matricial usual. Conclusão parcial: o primeiro erro vem de confundir a multiplicação usual de matrizes com multiplicação termo a termo.]

Passo 5

Agora vamos estudar a transposta e a propriedade que envolve produto e transposição. Definição: a transposta de uma matriz M é a matriz M^{t} obtida trocando linhas por colunas. Em termos de entradas:
(M^{t})_{ij}=M_{ji}.
Exemplo simples: se M=\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\[4pt] m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}, então
M^{t}=\begin{pmatrix}m_{11} & m_{21} \\[4pt] m_{12} & m_{22}\end{pmatrix}.
Importante propriedade (verdadeira) envolvendo produto e transposta: para matrizes compatíveis,
( A\cdot B )^{t} = B^{t}\cdot A^{t}.
Note que a ordem dos fatores inverte-se ao tomar a transposta do produto. Vou mostrar por que, de forma simples: usando índices, (A\cdot B)_{ij}=\sum_{k}A_{ik}B_{kj}. Então
(A\cdot B)^{t}_{ij}=(A\cdot B)_{ji}=\sum_{k}A_{jk}B_{ki}.
Mas \sum_{k}A_{jk}B_{ki}=\sum_{k}(B^{t})_{ik}(A^{t})_{kj}, que é exatamente a definição da entrada (i,j) da matriz B^{t}\cdot A^{t}. Portanto (A\cdot B)^{t}=B^{t}\cdot A^{t}. Essa demonstração com índices é a forma direta e robusta de entender por que a ordem inverte.]

Passo 6

Vamos aplicar essa propriedade ao nosso exemplo para ver numericamente o que acontece. Primeiro calculemos as transpostas:
A^{t}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}, \qquad B^{t}=\begin{pmatrix}4 & 8 \\[4pt] 7 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculemos A^{t}\cdot B^{t} (para mostrar que isso NÃO é igual a (A\cdot B)^{t} na ordem dada pelos alunos):
  • (A^{t}\cdot B^{t})_{11}=1\cdot 4 + 3\cdot 7 = 4 + 21 = 25.
  • (A^{t}\cdot B^{t})_{12}=1\cdot 8 + 3\cdot 3 = 8 + 9 = 17.
  • (A^{t}\cdot B^{t})_{21}=2\cdot 4 + 5\cdot 7 = 8 + 35 = 43.
  • (A^{t}\cdot B^{t})_{22}=2\cdot 8 + 5\cdot 3 = 16 + 15 = 31.
    Logo
A^{t}\cdot B^{t}=\begin{pmatrix}25 & 17 \\[4pt] 43 & 31\end{pmatrix}.
Agora calculemos (A\cdot B)^{t}. Lembrando que A\cdot B=\begin{pmatrix}20 & 13 \\[4pt] 52 & 36\end{pmatrix} do Passo 3, temos
(A\cdot B)^{t}=\begin{pmatrix}20 & 52 \\[4pt] 13 & 36\end{pmatrix}.
Finalmente calculemos B^{t}\cdot A^{t} (a ordem correta segundo a propriedade):
  • (B^{t}\cdot A^{t})_{11}=4\cdot 1 + 8\cdot 2 = 4 + 16 = 20.
  • (B^{t}\cdot A^{t})_{12}=4\cdot 3 + 8\cdot 5 = 12 + 40 = 52.
  • (B^{t}\cdot A^{t})_{21}=7\cdot 1 + 3\cdot 2 = 7 + 6 = 13.
  • (B^{t}\cdot A^{t})_{22}=7\cdot 3 + 3\cdot 5 = 21 + 15 = 36.
    Portanto
B^{t}\cdot A^{t}=\begin{pmatrix}20 & 52 \\[4pt] 13 & 36\end{pmatrix}=(A\cdot B)^{t}.
Conferimos numericamente a propriedade e vemos também que A^{t}\cdot B^{t} (a expressão usada pelos alunos) dá uma matriz diferente.]

Passo 7

Resumo do que vimos e por que os erros apontam para a mesma origem:
  • O primeiro erro (resultado \begin{pmatrix}4 & 14 \\\\ 24 & 15\end{pmatrix}) mostra que os alunos usaram multiplicação termo a termo em vez da multiplicação matricial padrão (linha por coluna). Isso é uma incompreensão da estrutura da operação de multiplicação entre matrizes.
  • O segundo erro (afirmar (A\cdot B)^{t}=A^{t}\cdot B^{t}) mostra que os alunos não reconheceram que a transposição do produto inverte a ordem dos fatores; isto é, eles aplicaram a transposição sem levar em conta a estrutura do produto matricial (novamente, um equívoco sobre como a multiplicação matricial se combina com a transposta).
    Ambos os erros decorrem de um problema com a estrutura da operação de multiplicação de matrizes (como se combinam linhas e colunas e como a ordem importa), não de determinante, nem de inversa. A transposta foi usada no enunciado, mas o erro com a transposta é exatamente não aplicar corretamente a interação entre produto e transposição — isto é consequência da má compreensão da multiplicação matricial.

Resposta

D

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