QUESTÃO 2
Em uma aula na
série do Ensino Médio, um professor aplicou a seguinte situação problema: de quantos modos distintos podemos formar uma comissão com 3 alunos, escolhidos entre os 6 alunos disponíveis na turma?
Um dos estudantes desenvolveu a seguinte solução: “Dispomos de 6 alunos. Como temos 3 vagas para a comissão, podemos preencher a primeira vaga usando 6 pessoas diferentes. A segunda vaga, usando 5. E a terceira, 4 pessoas. Então, fazendo
, obtemos 120. Resposta: 120 comissões distintas”.
Em seguida, o professor pediu que os demais estudantes avaliassem a solução do colega, confirmando ou corrigindo a solução apresentada.
Considerando essa situação e cada uma das alternativas a seguir, que contém uma avaliação fornecida pelos alunos, assinale a que apresenta a avaliação correta da solução do colega.
A O princípio multiplicativo gerou, nessa situação, a resposta correta e esperada pelo professor: 120; entretanto, outra possibilidade seria usar a fórmula de combinação.
B O princípio multiplicativo deve ser usado apenas em contagens em que a ordem dos elementos não importa; não se pode, em hipótese alguma, usá-lo em caso de comissões.
C O princípio multiplicativo é adequado à situação proposta e a resposta 120 está correta; no entanto, essa não é a única possibilidade; outra seria utilizar a fórmula de arranjo simples.
D O princípio multiplicativo, usado de forma isolada, não resolveu o problema por completo; nesse caso, para se chegar ao resultado correto, deve-se dividir 120 por 6, que é uma forma de descontar as repetições.
Um dos estudantes desenvolveu a seguinte solução: “Dispomos de 6 alunos. Como temos 3 vagas para a comissão, podemos preencher a primeira vaga usando 6 pessoas diferentes. A segunda vaga, usando 5. E a terceira, 4 pessoas. Então, fazendo
Em seguida, o professor pediu que os demais estudantes avaliassem a solução do colega, confirmando ou corrigindo a solução apresentada.
B O princípio multiplicativo deve ser usado apenas em contagens em que a ordem dos elementos não importa; não se pode, em hipótese alguma, usá-lo em caso de comissões.
C O princípio multiplicativo é adequado à situação proposta e a resposta 120 está correta; no entanto, essa não é a única possibilidade; outra seria utilizar a fórmula de arranjo simples.
D O princípio multiplicativo, usado de forma isolada, não resolveu o problema por completo; nesse caso, para se chegar ao resultado correto, deve-se dividir 120 por 6, que é uma forma de descontar as repetições.
Passo 1
O enunciado pede: de quantos modos distintos podemos formar uma comissão com 3 alunos escolhidos entre os 6 alunos da turma?
Informações dadas: temos alunos no total; a comissão terá
alunos; um estudante calculou
usando o princípio multiplicativo. O que se pergunta aqui é qual das alternativas
a
avalia corretamente a solução desse colega.
Informações dadas: temos
Passo 2
Entendendo o cálculo do estudante: ele fez
Vou explicar o que esse produto conta. O princípio multiplicativo (regra do produto) diz: se uma primeira escolha pode ser feita de
formas, e para cada escolha a segunda pode ser feita de
formas, e para cada par a terceira pode ser feita de
formas, então o total de sequências de três escolhas é
. Aqui, interpretar as três “vagas” como posições sequenciais (primeira, segunda, terceira) leva a
opções para a primeira posição, depois
para a segunda (restantes) e
para a terceira. Logo esse produto conta o número de seleções ordenadas de comprimento
.
Passo 3
Diferença entre seleção ordenada e comissão: uma comissão é um grupo sem ordem — isto é, a comissão formada por
é a mesma que a comissão
ou
. Já o produto
conta cada uma dessas ordens como distintas. Para ver com nomes: se os alunos são
, o conjunto
gera as ordens
, ou seja,
ordens diferentes.
Passo 4
Quantas ordens distintas correspondem a uma mesma comissão de
pessoas? São exatamente
ordens, porque para
itens há
permutações. Portanto cada comissão não-ordenada está sendo contada
vezes pelo produto
.
Passo 5
Ligando isso a fórmulas padrão:
Como
conta cada comissão
vezes, temos a relação
Logo o número correto de comissões distintas é
, não
.
Passo 6
Análise das alternativas:
-
dita que o princípio multiplicativo gerou a resposta correta — isso está errado porque é o número de seleções ordenadas, não de comissões (onde a ordem não importa). -
afirma que o princípio multiplicativo deve ser usado apenas quando a ordem não importa — isso é o oposto da verdade e está incorreto. -
afirma que o princípio multiplicativo é adequado e que está correta; incorreto pelo mesmo motivo do item A. (A fórmula de arranjo simples é exatamente e não resolve o problema de comissão.) -
diz que o princípio multiplicativo, usado isoladamente, não resolveu o problema por completo e que, para chegar ao resultado correto, deve-se dividir por para descontar repetições. Isso corresponde exatamente ao raciocínio acima (dividir por para eliminar as ordens internas) e é correto.
Passo 7
Resumo didático final: o estudante contou as escolhas ordenadas; para comissões (ordem irrelevante) devemos dividir por
porque cada comissão aparece
vezes nas contagens ordenadas. Resultado final:
comissões distintas; a avaliação correta entre as alternativas é a alternativa
.
Resposta
D