QUESTÃO 2

Em uma aula na 2{ }^{\underline{\mathrm{a}}} série do Ensino Médio, um professor aplicou a seguinte situação problema: de quantos modos distintos podemos formar uma comissão com 3 alunos, escolhidos entre os 6 alunos disponíveis na turma?
Um dos estudantes desenvolveu a seguinte solução: “Dispomos de 6 alunos. Como temos 3 vagas para a comissão, podemos preencher a primeira vaga usando 6 pessoas diferentes. A segunda vaga, usando 5. E a terceira, 4 pessoas. Então, fazendo 6 \times 5 \times 4, obtemos 120. Resposta: 120 comissões distintas”.
Em seguida, o professor pediu que os demais estudantes avaliassem a solução do colega, confirmando ou corrigindo a solução apresentada.
Considerando essa situação e cada uma das alternativas a seguir, que contém uma avaliação fornecida pelos alunos, assinale a que apresenta a avaliação correta da solução do colega.
A O princípio multiplicativo gerou, nessa situação, a resposta correta e esperada pelo professor: 120; entretanto, outra possibilidade seria usar a fórmula de combinação.
B O princípio multiplicativo deve ser usado apenas em contagens em que a ordem dos elementos não importa; não se pode, em hipótese alguma, usá-lo em caso de comissões.
C O princípio multiplicativo é adequado à situação proposta e a resposta 120 está correta; no entanto, essa não é a única possibilidade; outra seria utilizar a fórmula de arranjo simples.
D O princípio multiplicativo, usado de forma isolada, não resolveu o problema por completo; nesse caso, para se chegar ao resultado correto, deve-se dividir 120 por 6, que é uma forma de descontar as repetições.

Passo 1

O enunciado pede: de quantos modos distintos podemos formar uma comissão com 3 alunos escolhidos entre os 6 alunos da turma?
Informações dadas: temos ...6... alunos no total; a comissão terá ...3... alunos; um estudante calculou ...6\times5\times4=120... usando o princípio multiplicativo. O que se pergunta aqui é qual das alternativas ...A... a ...D... avalia corretamente a solução desse colega.

Passo 2

Entendendo o cálculo do estudante: ele fez
6\times5\times4=120.
Vou explicar o que esse produto conta. O princípio multiplicativo (regra do produto) diz: se uma primeira escolha pode ser feita de a formas, e para cada escolha a segunda pode ser feita de b formas, e para cada par a terceira pode ser feita de c formas, então o total de sequências de três escolhas é a\cdot b\cdot c. Aqui, interpretar as três “vagas” como posições sequenciais (primeira, segunda, terceira) leva a 6 opções para a primeira posição, depois 5 para a segunda (restantes) e 4 para a terceira. Logo esse produto conta o número de seleções ordenadas de comprimento 3.

Passo 3

Diferença entre seleção ordenada e comissão: uma comissão é um grupo sem ordem — isto é, a comissão formada por \{A,B,C\} é a mesma que a comissão \{B,A,C\} ou \{C,B,A\}. Já o produto ...6\times5\times4... conta cada uma dessas ordens como distintas. Para ver com nomes: se os alunos são A,B,C,D,E,F, o conjunto \{A,B,C\} gera as ordens ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, ou seja, 6 ordens diferentes.

Passo 4

Quantas ordens distintas correspondem a uma mesma comissão de ...3... pessoas? São exatamente ...3! ordens, porque para 3 itens há ...3\times2\times1=6... permutações. Portanto cada comissão não-ordenada está sendo contada ...3! vezes pelo produto ...6\times5\times4....

Passo 5

Ligando isso a fórmulas padrão:
\text{Número de seleções ordenadas (arranjos) de }3\text{ entre }6 = P(6,3)=6\cdot5\cdot4=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!}=120.úçõ
\text{Número de comissões (seleções não ordenadas) de }3\text{ entre }6 = C(6,3)=\frac{6!}{3!\,3!}.úõçõã
Como P(6,3) conta cada comissão 3! vezes, temos a relação
C(6,3)=\frac{P(6,3)}{3!}=\frac{120}{6}=20.
Logo o número correto de comissões distintas é ...20..., não ...120....

Passo 6

Análise das alternativas:
  • ...A... dita que o princípio multiplicativo gerou a resposta correta ...120... — isso está errado porque ...120... é o número de seleções ordenadas, não de comissões (onde a ordem não importa).
  • ...B... afirma que o princípio multiplicativo deve ser usado apenas quando a ordem não importa — isso é o oposto da verdade e está incorreto.
  • ...C... afirma que o princípio multiplicativo é adequado e que ...120... está correta; incorreto pelo mesmo motivo do item A. (A fórmula de arranjo simples é exatamente 6\cdot5\cdot4 e não resolve o problema de comissão.)
  • ...D... diz que o princípio multiplicativo, usado isoladamente, não resolveu o problema por completo e que, para chegar ao resultado correto, deve-se dividir ...120... por ...6... para descontar repetições. Isso corresponde exatamente ao raciocínio acima (dividir por ...3! para eliminar as ordens internas) e é correto.

Passo 7

Resumo didático final: o estudante contou as escolhas ordenadas; para comissões (ordem irrelevante) devemos dividir por ...3! porque cada comissão aparece ...3! vezes nas contagens ordenadas. Resultado final: ...20... comissões distintas; a avaliação correta entre as alternativas é a alternativa ...D....

Resposta

D

Exercícios relacionados