QUESTÃO 8 - Analise se as funções abaixo são harmônicas.
f(z)=e^{-y}(\cos x-i \sin x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=e^{-y}\bigl(\cos x - i\sin x\bigr)
e pede para verificar se as suas partes real e imaginária são funções harmônicas. Lembrando que uma função u(x,y) é harmônica se satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.

Passo 2

Identificamos as partes real e imaginária de f. Escrevendo
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
vemos que
u(x,y)=e^{-y}\cos x, \qquad v(x,y)=-\,e^{-y}\sin x.

Passo 3

Calculamos as derivadas segundas de u. Primeiro as derivadas primeiras:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-y}\cos x\bigr) =-e^{-y}\sin x, \qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-y}\cos x\bigr) =-e^{-y}\cos x.
Agora as segundas derivadas:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{-y}\sin x\bigr) =-e^{-y}\cos x, \qquad u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-e^{-y}\cos x\bigr) =+e^{-y}\cos x.
Somando, obtemos
u_{xx}+u_{yy} =-e^{-y}\cos x+e^{-y}\cos x =0,
logo u é harmônica.

Passo 4

Repetimos o procedimento para v. Derivadas primeiras:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{-y}\sin x\bigr) =-e^{-y}\cos x, \qquad v_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-e^{-y}\sin x\bigr) =+e^{-y}\sin x.
Derivadas segundas:
v_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{-y}\cos x\bigr) =+e^{-y}\sin x, \qquad v_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-y}\sin x\bigr) =-e^{-y}\sin x.
Somando, obtemos
v_{xx}+v_{yy} =e^{-y}\sin x - e^{-y}\sin x =0,
logo v também é harmônica.

Resposta

Tanto a parte real u(x,y)=e^{-y}\cos x quanto a parte imaginária v(x,y)=-e^{-y}\sin x satisfazem a equação de Laplace e, portanto, são funções harmônicas.

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