QUESTÃO 8 - Analise se as funções abaixo são harmônicas.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se as suas partes real e imaginária são funções harmônicas. Lembrando que uma função
é harmônica se satisfaz a equação de Laplace
Passo 2
Identificamos as partes real e imaginária de
. Escrevendo
vemos que
Passo 3
Calculamos as derivadas segundas de
. Primeiro as derivadas primeiras:
Agora as segundas derivadas:
Somando, obtemos
logo
é harmônica.
Passo 4
Repetimos o procedimento para
. Derivadas primeiras:
Derivadas segundas:
Somando, obtemos
logo
também é harmônica.
Resposta
Tanto a parte real
quanto a parte imaginária
satisfazem a equação de Laplace e, portanto, são funções harmônicas.