QUESTÃO 8 - Analise se as funções abaixo são harmônicas.
f(z)=e^{y} \sin x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y) = e^{y}\sin x
é harmônica. Lembrando que uma função real f(x,y) é harmônica se satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{y}\cos x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = e^{y}\sin x.
Em seguida, as derivadas de segunda ordem:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\cos x\bigr) = -\,e^{y}\sin x,
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) = e^{y}\sin x.

Passo 3

Somar as derivadas de segunda ordem para checar a equação de Laplace:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = \bigl(-e^{y}\sin x\bigr) + \bigl(e^{y}\sin x\bigr) = 0.

Resposta

A função f(x,y)=e^{y}\sin x satisfaz \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0 e, portanto, é harmônica.

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