QUESTÃO 8 - Analise se as funções abaixo são harmônicas. f(z)=\overline{e^{z}}
Passo 1
Resumindo, queremos saber se
f(z)=\overline{e^{z}}
é harmônica. Isto significa verificar se as partes real e imaginária de f, vistas como funções de x e y, satisfazem a equação de Laplace \Delta u=0 e \Delta v=0. Vamos usar z=x+iy e calcular essas componentes.
Passo 2
Primeiro escrevemos
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)
e, portanto,
f(z)=\overline{e^{z}} =e^{x}(\cos y - i\sin y).
Dessa forma definimos
u(x,y)=e^{x}\cos y, \quad v(x,y)=-\,e^{x}\sin y.
Passo 3
Calculamos as derivadas de segunda ordem de u:
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x}\cos y)=e^{x}\cos y, \quad u_{xx}=e^{x}\cos y,
u_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}\cos y)=-\,e^{x}\sin y, \quad u_{yy}=-\,e^{x}\cos y.
Logo
u_{xx}+u_{yy} =e^{x}\cos y - e^{x}\cos y =0.
Passo 4
Agora para v:
v_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(-e^{x}\sin y)=-\,e^{x}\sin y, \quad v_{xx}=-\,e^{x}\sin y,
v_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(-e^{x}\sin y)=-\,e^{x}\cos y, \quad v_{yy}=e^{x}\sin y.
Logo
v_{xx}+v_{yy} =-e^{x}\sin y + e^{x}\sin y =0.
Resposta
A função f(z)=\overline{e^{z}} é harmônica em todo o plano, pois tanto u(x,y)=e^{x}\cos y quanto v(x,y)=-e^{x}\sin y satisfazem a equação de Laplace.