QUESTÃO 8 - Analise se as funções abaixo são harmônicas.
f(z)=e^{-y} \cos x

Passo 1

O enunciado dá a função real definida por
u(x,y)=e^{-y}\cos x
Pedem para verificar se u é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace
\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0.

Passo 2

Calcular as derivadas de segunda ordem em x.
Primeiro,
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-y}\cos x\bigr) = -\,e^{-y}\sin x,
de onde
u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{-y}\sin x\bigr) = -\,e^{-y}\cos x.

Passo 3

Calcular as derivadas de segunda ordem em y.
Primeiro,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-y}\cos x\bigr) = -\,e^{-y}\cos x,
de onde
u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-e^{-y}\cos x\bigr) = e^{-y}\cos x.

Passo 4

Montar o Laplaciano somando u_{xx} e u_{yy}:
u_{xx} + u_{yy} = \bigl(-e^{-y}\cos x\bigr) + \bigl(e^{-y}\cos x\bigr) = 0.

Resposta

A função f(z)=e^{-y}\cos x é harmônica, pois satisfaz \Delta u=0.

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