Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e, em caso afirmativo, determine um campo escalar potencial:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial .
O conteúdo utilizado será o teste de igualdade das derivadas parciais (campo exato) e a integração de componentes.
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
O conteúdo utilizado será o teste de igualdade das derivadas parciais (campo exato) e a integração de componentes.
Passo 2
Denotando
calculamos as derivadas mistas:
e
.
Como
em
, o campo é exato.
e
Como
Passo 3
O domínio é
, que é simplesmente conexo. Portanto, a igualdade das derivadas parciais garante que
é conservativo e admite potencial escalar.
Passo 4
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Diferenciando
em relação a
e igualando a
:
Isso implica
, logo
é constante.
Resposta
Uma função potencial é, a menos de constante,