Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e, em caso afirmativo, determine um campo escalar potencial:
\vec{F}(x, y)=(\cos y+y \cos x) \vec{i}+(\sin x-x \sin y) \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\vec{F}(x,y) = (\cos y + y\cos x)\,\vec{i} + (\sin x - x\sin y)\,\vec{j}
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y).
O conteúdo utilizado será o teste de igualdade das derivadas parciais (campo exato) e a integração de componentes.

Passo 2

Denotando
P(x,y) = \cos y + y\cos x, \quad Q(x,y) = \sin x - x\sin y,
calculamos as derivadas mistas:
\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = -\sin y + \cos x
e
\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = \cos x - \sin y.
Como
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} em \mathbb{R}^2, o campo é exato.

Passo 3

O domínio é \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo. Portanto, a igualdade das derivadas parciais garante que \vec{F} é conservativo e admite potencial escalar.

Passo 4

Para achar \varphi(x,y), integramos
\phi_x(x,y) = P(x,y) em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \bigl(\cos y + y\cos x\bigr)\,dx = x\cos y + y\sin x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Diferenciando \varphi em relação a y e igualando a Q:
\phi_y(x,y) = -x\sin y + \sin x + h'(y) \overset{!}{=} \sin x - x\sin y.
Isso implica h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

Uma função potencial é, a menos de constante,
\varphi(x,y) = x\cos y + y\sin x.

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