Questão 4) Análise do valor final para o sinal de saída de um sistema

Considerando as seguintes expressões para o sinal de saída Y(s) do sistema e, aplicando o teorema do valor final (TVF), obter o valor final de estado estacionário para cada caso.
Y(s)=\frac{s+3}{s^{2}+9 s}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace do sinal de saída e pede o valor final (estado estacionário) aplicando o Teorema do Valor Final (TVF). Informações fornecidas:
  • A função dada é Y(s)=\dfrac{s+3}{s^{2}+9s}.
    O que se pede:
  • Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t) usando o TVF.

Passo 2

Vou lembrar e explicar o Teorema do Valor Final (TVF) de forma simples e clara:
  • Enunciado prático do TVF: se y(t) tem transformada Y(s) e todos os polos de sY(s) têm parte real negativa (ou seja, estão no semiplano esquerdo \operatorname{Re}(s)<0), então
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} s\,Y(s).
  • O que isso significa: multiplica-se Y(s) por s e avalia-se o limite quando s\to 0. Mas atenção: o TVF só é válido se sY(s) não tiver polos no semiplano direito nem polos na fronteira imaginária (exceto, em algumas formulações, um polo simples na origem). Em termos práticos: verificar os polos é obrigatório antes de aplicar o TVF.
Agora vamos aplicar isso ao nosso Y(s). Primeiro fatoro o denominador:
s^{2}+9s = s(s+9).
Logo
Y(s)=\frac{s+3}{s(s+9)}.
Multiplico por s para formar sY(s):
sY(s)=s\cdot\frac{s+3}{s(s+9)}=\frac{s+3}{s+9}.
Observe que sY(s)=\dfrac{s+3}{s+9} tem apenas um polo em s=-9, cuja parte real é negativa ( -9<0). Portanto a condição do TVF está satisfeita e podemos usar o TVF com segurança.

Passo 3

Aplicando o TVF:
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} sY(s)=\lim_{s\to 0}\frac{s+3}{s+9}.
Avalio o limite substituindo s=0:
\lim_{s\to 0}\frac{s+3}{s+9}=\frac{0+3}{0+9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
Portanto, pelo TVF, o valor final é \dfrac{1}{3}.

Passo 4

Verificação alternativa (útil para “ver com os olhos” o comportamento no tempo): obter y(t) por frações parciais e ver o limite direto.
  • Faço a decomposição em frações parciais:
\frac{s+3}{s(s+9)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+9}.
Multiplicando por s(s+9):
s+3 = A(s+9)+Bs = (A+B)s+9A.
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de s: 1 = A+B.
  • Constante: 3 = 9A \Rightarrow A=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.
  • Então B=1-A=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
Logo
Y(s)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s+9}.
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
y(t)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}e^{-9t}\quad\text{(para \(t\ge0\))}.
Ao tomar t\to\infty, o termo exponencial decai para zero e sobra
\lim_{t\to\infty} y(t)=\frac{1}{3},
confirmando o resultado do TVF. Esta verificação também mostra por que a condição sobre os polos é necessária: o termo exponencial tem pólo em -9 (estável) e decai, deixando um termo constante.

Passo 5

Resumo didático e incentivo rápido:
  • Procedimento prático para a prova: fatorar o denominador, verificar polos de sY(s). Se estiverem no semiplano esquerdo, calcular \lim_{s\to 0} sY(s).
  • Aqui deu certo e deu \dfrac{1}{3}. Ótimo trabalho — com esse passo a passo você já sabe aplicar o TVF e também checar por frações parciais quando quiser confirmar.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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