Questão 4) Análise do valor final para o sinal de saída de um sistema
Considerando as seguintes expressões para o sinal de saída
do sistema e, aplicando o teorema do valor final (TVF), obter o valor final de estado estacionário para cada caso.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace do sinal de saída e pede o valor final (estado estacionário) aplicando o Teorema do Valor Final (TVF). Informações fornecidas:
- A função dada é
.
O que se pede: - Calcular
usando o TVF.
Passo 2
Vou lembrar e explicar o Teorema do Valor Final (TVF) de forma simples e clara:
- Enunciado prático do TVF: se
tem transformada e todos os polos de têm parte real negativa (ou seja, estão no semiplano esquerdo ), então
- O que isso significa: multiplica-se
por e avalia-se o limite quando . Mas atenção: o TVF só é válido se não tiver polos no semiplano direito nem polos na fronteira imaginária (exceto, em algumas formulações, um polo simples na origem). Em termos práticos: verificar os polos é obrigatório antes de aplicar o TVF.
Agora vamos aplicar isso ao nosso
. Primeiro fatoro o denominador:
Logo
Multiplico por
para formar
:
Observe que
tem apenas um polo em
, cuja parte real é negativa (
). Portanto a condição do TVF está satisfeita e podemos usar o TVF com segurança.
Passo 3
Aplicando o TVF:
Avalio o limite substituindo
:
Portanto, pelo TVF, o valor final é
.
Passo 4
Verificação alternativa (útil para “ver com os olhos” o comportamento no tempo): obter
por frações parciais e ver o limite direto.
- Faço a decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
:
Comparando coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Constante:
. - Então
.
Logo
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Ao tomar
, o termo exponencial decai para zero e sobra
confirmando o resultado do TVF. Esta verificação também mostra por que a condição sobre os polos é necessária: o termo exponencial tem pólo em
(estável) e decai, deixando um termo constante.
Passo 5
Resumo didático e incentivo rápido:
- Procedimento prático para a prova: fatorar o denominador, verificar polos de
. Se estiverem no semiplano esquerdo, calcular . - Aqui deu certo e deu
. Ótimo trabalho — com esse passo a passo você já sabe aplicar o TVF e também checar por frações parciais quando quiser confirmar.