Questão 4) Análise do valor final para o sinal de saída de um sistema
Considerando as seguintes expressões para o sinal de saída Y(s) do sistema e, aplicando o teorema do valor final (TVF), obter o valor final de estado estacionário para cada caso. Y(s)=\frac{s^{2}-3 s+8}{s^{3}+5 s^{2}+4 s}
Passo 1
O enunciado fornece a função de saída no domínio de Laplace
Y(s)=\frac{s^{2}-3 s+8}{s^{3}+5 s^{2}+4 s}
e pede para, aplicando o Teorema do Valor Final (TVF), obter o valor final (estado estacionário) \lim_{t\to\infty} y(t).
Informações dadas explicitamente:
A expressão de Y(s) acima (numerador e denominador).
Não há outras informações (por ex. entrada ou condições iniciais); o pedido é usar o TVF diretamente sobre Y(s).
Passo 2
Apresentando o Teorema do Valor Final e suas condições (aula rápida):
O Teorema do Valor Final diz que, se \lim_{t\to\infty} y(t) existir, então
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to0} s\,Y(s).
Condição necessária para usar o TVF: todos os polos de s\,Y(s) devem estar no semiplano esquerdo estrito (ou seja, ter parte real negativa). Em outras palavras, s\,Y(s) não pode ter polos em Re(s)\ge0 (nem polos na borda imaginária), porque nesses casos a saída pode divergir ou oscilar e o limite não existe.
Interpretação prática: antes de simplesmente calcular \lim_{s\to0} sY(s), fatorar Y(s) e verificar os polos de sY(s); se algum polo tiver Re(s)\ge0, o TVF não é aplicável (o limite pode não existir ou ser infinito).
Passo 3
Fatoração do denominador para encontrar polos de Y(s):
Note que o fator s cancelou porque o numerador em s=0 é 8\neq0; após o cancelamento os polos de sY(s) são apenas s=-1 e s=-4, ambos com parte real negativa. Assim a condição do TVF está satisfeita e podemos aplicar o teorema com segurança.
Interpretação curta e encorajamento: o valor final é \,2. O procedimento foi fatorar, checar polos de sY(s) para garantir validade do TVF, e então substituir s=0. Se em outro exercício o cancelamento não ocorresse e sY(s) tivesse um polo em Re(s)\ge0, aí o limite não existiria (por exemplo, se sY(s) tivesse polo em s=0 sem cancelamento, a saída poderia divergir).