Questão 4) Análise do valor final para o sinal de saída de um sistema
Considerando as seguintes expressões para o sinal de saída
do sistema e, aplicando o teorema do valor final (TVF), obter o valor final de estado estacionário para cada caso.
Passo 1
O enunciado fornece a transformada de Laplace do sinal de saída e pede o valor final em regime estacionário usando o Teorema do Valor Final (TVF). Informações dadas:
- A transformada de Laplace do sinal de saída é
. - O que se quer: o valor
, onde é a antitransformada de , obtido aplicando o TVF.
Passo 2
Enunciando o Teorema do Valor Final e explicando as condições (aula rápida).
- O Teorema do Valor Final diz:
desde que os polos de
estejam todos no semi-plano esquerdo (isto é, tenham parte real negativa), com exceção de, no máximo, um polo simples em
.
- Explicando:
é a transformada de Laplace de . A condição sobre os polos evita que a saída tenda para infinito ou oscile permanentemente; se houver pólos no semiplano direito ou polos imaginários puros (além de um polo simples em zero) o limite temporal não existe ou não pode ser obtido por essa fórmula.
Passo 3
Verificação das condições do TVF para o caso dado.
- Escrever
de forma fatorada:
- Calcular
:
- Identificar os polos de
: o denominador dá um pólo em de multiplicidade 2. Não há pólo em . Portanto todos os polos de têm parte real negativa (estão em ), logo a condição do TVF está satisfeita.
Passo 4
Aplicar o TVF e calcular o limite em
.
- Pelo TVF:
- Substituindo
na expressão contínua:
Passo 5
Confirmação alternativa (bom para prova): obter
por antitransformada e calcular o limite temporal.
- Usar uma propriedade conhecida da transformada:
e . Assim,
- Logo a antitransformada é
(para ). Calcular o limite:
pois a exponencial decai muito mais rápido que o crescimento linear (pode-se mostrar por L’Hôpital:
). Isso confirma o resultado obtido via TVF.