Questão 4) Análise do valor final para o sinal de saída de um sistema

Considerando as seguintes expressões para o sinal de saída Y(s) do sistema e, aplicando o teorema do valor final (TVF), obter o valor final de estado estacionário para cada caso.
Y(s)=\frac{1}{s^{2}+2 s+1}

Passo 1

O enunciado fornece a transformada de Laplace do sinal de saída e pede o valor final em regime estacionário usando o Teorema do Valor Final (TVF). Informações dadas:
  • A transformada de Laplace do sinal de saída é Y(s)=\dfrac{1}{s^{2}+2s+1}.
  • O que se quer: o valor \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t), onde y(t) é a antitransformada de Y(s), obtido aplicando o TVF.

Passo 2

Enunciando o Teorema do Valor Final e explicando as condições (aula rápida).
  • O Teorema do Valor Final diz:
\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{s\to 0} s\,Y(s),
desde que os polos de s\,Y(s) estejam todos no semi-plano esquerdo (isto é, tenham parte real negativa), com exceção de, no máximo, um polo simples em s=0.
  • Explicando: Y(s) é a transformada de Laplace de y(t). A condição sobre os polos evita que a saída tenda para infinito ou oscile permanentemente; se houver pólos no semiplano direito ou polos imaginários puros (além de um polo simples em zero) o limite temporal não existe ou não pode ser obtido por essa fórmula.

Passo 3

Verificação das condições do TVF para o caso dado.
  • Escrever Y(s) de forma fatorada:
Y(s)=\frac{1}{s^{2}+2s+1}=\frac{1}{(s+1)^{2}}.
  • Calcular s\,Y(s):
s\,Y(s)=\frac{s}{(s+1)^{2}}.
  • Identificar os polos de s\,Y(s): o denominador (s+1)^{2} dá um pólo em s=-1 de multiplicidade 2. Não há pólo em s=0. Portanto todos os polos de s\,Y(s) têm parte real negativa (estão em s=-1), logo a condição do TVF está satisfeita.

Passo 4

Aplicar o TVF e calcular o limite em s.
  • Pelo TVF:
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} s\,Y(s)=\lim_{s\to 0}\frac{s}{(s+1)^{2}}.
  • Substituindo s=0 na expressão contínua:
\lim_{s\to 0}\frac{s}{(s+1)^{2}}=\frac{0}{1^{2}}=0.

Passo 5

Confirmação alternativa (bom para prova): obter y(t) por antitransformada e calcular o limite temporal.
  • Usar uma propriedade conhecida da transformada: \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\dfrac{1}{s+1} e \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}F(s). Assim,
\mathcal{L}\{t e^{-t}\}=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s+1}\right)=\frac{1}{(s+1)^{2}}.
  • Logo a antitransformada é y(t)=t e^{-t} (para t\ge 0). Calcular o limite:
\lim_{t\to\infty} t e^{-t} = 0,
pois a exponencial decai muito mais rápido que o crescimento linear (pode-se mostrar por L’Hôpital: \lim_{t\to\infty}\dfrac{t}{e^{t}}=\lim_{t\to\infty}\dfrac{1}{e^{t}}=0). Isso confirma o resultado obtido via TVF.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=0

Exercícios relacionados