Questão 4) Análise do valor final para o sinal de saída de um sistema

Considerando as seguintes expressões para o sinal de saída Y(s) do sistema e, aplicando o teorema do valor final (TVF), obter o valor final de estado estacionário para cada caso.
Y(s)=\frac{1}{4 s^{2}+s}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace do sinal de saída:
Y(s)=\frac{1}{4 s^{2}+s}.
A tarefa é aplicar o teorema do valor final e obter o valor final em regime estacionário, isto é
\lim_{t\to\infty} y(t).

Passo 2

Vou lembrar o enunciado prático do teorema do valor final (TVF) e o que é preciso checar antes de usá‑lo.
O TVF diz que, se Y(s) é a transformada de Laplace de y(t) e se os polos de sY(s) têm parte real estritamente negativa (ou seja, todos em \operatorname{Re}(s)<0), então
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} s\,Y(s).
Explicando as peças:
  • s é a variável complexa de Laplace.
  • Y(s) é a transformada de Laplace do sinal y(t).
  • A condição sobre os polos de sY(s) garante que o limite no tempo exista e seja finito; se essa condição falhar, o TVF não pode ser aplicado diretamente.
Sempre verifique os polos de sY(s) antes de substituir s\to 0.

Passo 3

Fatoro o denominador de Y(s) para identificar polos:
4s^{2}+s = s(4s+1).
Logo
Y(s)=\frac{1}{s(4s+1)}.
Multiplico por s para obter sY(s):
sY(s)=\frac{s}{s(4s+1)}=\frac{1}{4s+1}.
Note que houve uma simplificação do fator s. Agora observo os polos de sY(s): o único polo de \dfrac{1}{4s+1} é solução de 4s+1=0, ou seja s=-\tfrac{1}{4}, que tem parte real negativa. Portanto a condição do TVF está satisfeita e posso aplicar o teorema.

Passo 4

Aplico o TVF calculando o limite quando s\to 0:
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} sY(s)=\lim_{s\to 0}\frac{1}{4s+1}=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Para reforçar a intuição, faço a transformada inversa rápida por frações parciais e vejo o comportamento no tempo.
Decompondo:
\frac{1}{s(4s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{4s+1}.
Multiplicando e comparando coeficientes obtém‑se A=1 e B=-4. Reescrevendo:
Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}.
Invertendo a transformada:
y(t)=1-e^{-t/4},
que de fato tende para 1 quando t\to\infty. Isso confirma o resultado obtido pelo TVF.

Resposta

1

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