Questão 4) Análise do valor final para o sinal de saída de um sistema
Considerando as seguintes expressões para o sinal de saída
do sistema e, aplicando o teorema do valor final (TVF), obter o valor final de estado estacionário para cada caso.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace do sinal de saída:
A tarefa é aplicar o teorema do valor final e obter o valor final em regime estacionário, isto é
Passo 2
Vou lembrar o enunciado prático do teorema do valor final (TVF) e o que é preciso checar antes de usá‑lo.
O TVF diz que, se
é a transformada de Laplace de
e se os polos de
têm parte real estritamente negativa (ou seja, todos em
), então
Explicando as peças:
-
é a variável complexa de Laplace. -
é a transformada de Laplace do sinal . - A condição sobre os polos de
garante que o limite no tempo exista e seja finito; se essa condição falhar, o TVF não pode ser aplicado diretamente.
Sempre verifique os polos de
antes de substituir
.
Passo 3
Fatoro o denominador de
para identificar polos:
Logo
Multiplico por
para obter
:
Note que houve uma simplificação do fator
. Agora observo os polos de
: o único polo de
é solução de
, ou seja
, que tem parte real negativa. Portanto a condição do TVF está satisfeita e posso aplicar o teorema.
Passo 4
Aplico o TVF calculando o limite quando
:
Passo 5
Para reforçar a intuição, faço a transformada inversa rápida por frações parciais e vejo o comportamento no tempo.
Decompondo:
Decompondo:
Multiplicando e comparando coeficientes obtém‑se
e
. Reescrevendo:
Invertendo a transformada:
que de fato tende para
quando
. Isso confirma o resultado obtido pelo TVF.