Questão 3-ID2.1 e ID2.3) Calcule a energia e a potência do sinal x(t) e o classifique: x(t)=\operatorname{sen}\left(t+\frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a energia e a potência do sinal e que se o classifique. O sinal dado é
x(t)=\operatorname{sen}\!\left(t+\frac{\pi}{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função x(t) está definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • As quantidades a obter são a energia do sinal e a potência média do sinal, e a classificação (sinal de energia, sinal de potência ou nenhum dos dois).

Passo 2

Simplificar a expressão do sinal usando uma identidade trigonométrica (isso facilita os cálculos).
Usando \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b e sabendo que \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, obtemos
\operatorname{sen}\!\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}t\cos\frac{\pi}{2}+\cos t\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=\cos t.
Portanto, para fins de cálculo, podemos trabalhar com
x(t)=\cos t.

Passo 3

Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
  • Energia de um sinal (energia total): é definida por
E=\int_{-\infty}^{\infty}\bigl|x(t)\bigr|^{2}\,dt.
Aqui E é um número real que representa a energia acumulada ao longo de todo o tempo; se essa integral converge para um número finito, diz-se que o sinal é de energia.
  • Potência média de um sinal: é definida por
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\bigl|x(t)\bigr|^{2}\,dt.
Aqui P é a média temporal do quadrado do sinal; se 0<P<\infty e a energia é infinita, diz-se que o sinal é de potência.
Observação didática: para sinais periódicos não nulos (como \cos t), a energia costuma ser infinita (porque não se atenua no tempo) e a potência é finita (a média sobre muitos períodos converge).

Passo 4

Cálculo da energia E do sinal x(t)=\cos t.
Primeiro escrevemos o integrando usando a identidade
\cos^{2}t=\frac{1+\cos(2t)}{2}.
Assim, para qualquer T>0,
\int_{-T}^{T}\cos^{2}t\,dt=\int_{-T}^{T}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int_{-T}^{T}1\,dt+\frac{1}{2}\int_{-T}^{T}\cos(2t)\,dt.
Calculando cada termo:
\frac{1}{2}\int_{-T}^{T}1\,dt=\frac{1}{2}\cdot(2T)=T,
\frac{1}{2}\int_{-T}^{T}\cos(2t)\,dt=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(2t)}{2}\right]_{-T}^{T} =\frac{1}{4}\bigl(\sin(2T)-\sin(-2T)\bigr)=\frac{1}{2}\sin(2T).
Portanto
\int_{-T}^{T}\cos^{2}t\,dt = T+\frac{1}{2}\sin(2T).
Agora a energia é o limite quando T\to\infty (integral impropriamente estendida):
E=\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T}\cos^{2}t\,dt =\lim_{T\to\infty}\Bigl(T+\tfrac{1}{2}\sin(2T)\Bigr).
Como o termo T tende para +\infty e \tfrac{1}{2}\sin(2T) é limitado entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}, concluímos que
E=+\infty.
Explicação em palavras: a integral diverge porque \cos^{2}t tem valor médio positivo (não cai para zero), então acumulando ao longo de todo o tempo a energia cresce sem limite.

Passo 5

Cálculo da potência média P.
Partimos da expressão já obtida para a integral simétrica:
\int_{-T}^{T}\cos^{2}t\,dt = T+\frac{1}{2}\sin(2T).
Substituindo na definição de potência:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\left(T+\frac{1}{2}\sin(2T)\right) =\lim_{T\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4T}\sin(2T)\right).
Como \sin(2T) é sempre limitado entre -1 e 1, o termo \dfrac{1}{4T}\sin(2T) tende a 0 quando T\to\infty. Assim
P=\frac{1}{2}.
Interpretação simples: a média temporal de \cos^{2}t é \tfrac{1}{2}, que é o valor esperado para o quadrado de uma função senoidal com amplitude 1.

Passo 6

Classificação do sinal pelo que foi encontrado.
  • A energia E é infinita ( E=+\infty).
  • A potência média P é finita e não nula ( P=\tfrac{1}{2}).
    Pelo critério padrão:
  • Sinal de energia: E<\infty e P=0.
  • Sinal de potência: E=\infty e 0<P<\infty.
    Portanto x(t)=\operatorname{sen}\!\left(t+\frac{\pi}{2}\right) é um sinal de potência.

Resposta

E=+\infty
P=\dfrac{1}{2}
Classificação: sinal de potência.

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