Questão 1. Aplicações em dimensionamento de cargas de elevadores: 0 elevador de cabine dupla da Torre Eiffel, responsável pelo percurso (viagem) do piso térreo ao segundo andar, têm capacidade de espaço para o máximo 46 pessoas adultas (Fonte: https://www.paristickets.com/pt/eiffel-tower/elevators/). Com o objetivo de estimar a carga média \mu de passageiros, em toneladas por viagem, considerou-se a seguinte amostra (valores em toneladas):
2,840 2,900 2,710 2,320 2,440 2,210 2,710 2,580 2,840 2,550
2,920 2,980 2,750 2,910 3,440 2,710 2,990 2,710 2,740
Assuma que a carga X (em toneladas) de passageiros segue o modelo normal.
Item a.) ( 1,0 ponto) Determine e interprete o intervalo IC( 95 \% ) para a carga média \mu de passageiros, em toneladas por viagem.
Item b.) ( 2,0 pontos) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de viagens com este elevador para estimar a carga média \mu de passageiros, assumindo um erro de estimativa igual a:
i. 150 quilos ( 0,150 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
ii. 120 quilos ( 0,120 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
iii. 100 quilos ( 0,100 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
iv. 50 quilos ( 0,050 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
Item c.) ( 1,0 ponto) Suponha que foi observada uma amostra de 400 viagens com este elevador ao longo do meses de janeiro a maio/2025 obtendo-se um carga média amostral \bar{X}=2,740 toneladas com um desvio-padrão amostral S=0,160 toneladas. Determine e interprete o intervalo IC ( 95 \% ) para a carga média \mu de passageiros, em toneladas por viagem.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de cargas por viagem (em toneladas) do elevador com os seguintes valores:
2,840,\;2,900,\;2,710,\;2,320,\;2,440,\;2,210,\;2,710,\;2,580,\;2,840,\;2,550,
2,920,\;2,980,\;2,750,\;2,910,\;3,440,\;2,710,\;2,990,\;2,710,\;2,740.
As informações relevantes e os pedidos são:
  • A amostra tem n=19 observações (essa contagem vem diretamente dos 19 números acima).
  • Assume-se que a variável carga X segue a distribuição normal.
  • Item (a): determinar e interpretar o intervalo de confiança de 95\% para a média \mu (em toneladas por viagem) usando a amostra de n=19.
  • Item (b): calcular o tamanho de amostra necessário para obter erro de estimativa (margem de erro) igual a i. 0,150 t; ii. 0,120 t; iii. 0,100 t; iv. 0,050 t, usando nível de confiança 95\%. Dizer se a amostra atual ( n=19) é suficiente em cada caso.
  • Item (c): com nova amostra de n=400 que produziu \bar{X}=2,740 t e S=0,160 t, determinar e interpretar o intervalo de confiança de 95\% para \mu.

Passo 2

Primeiro calculamos as estatísticas amostrais (média e desvio-padrão amostral) da amostra de n=19 (os números originais):
  1. Soma das observações:
\sum_{i=1}^{19} x_i = 52,250.
  1. Média amostral:
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{52,250}{19}=2,75\\ \text{(toneladas)}.
Explicação curta: a média é a soma dos valores dividida pelo número de observações; aqui deu exatamente 2,75 t.
  1. Soma dos quadrados das observações (usada para o desvio):
\sum_{i=1}^{19} x_i^2 = 145,0153.
  1. Soma dos quadrados das diferenças em relação à média:
\sum_{i=1}^{19} (x_i-\bar{X})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{X}^2 =145,0153 - 19\cdot (2,75)^2 =145,0153 - 19\cdot 7,5625 =145,0153 - 143,6875 =1,3278.
Explicação didática: \sum(x_i-\bar{X})^2 é a medida total de dispersão em torno da média; obtém-se a partir de \sum x_i^2 - n\bar{X}^2.
  1. Variância amostral e desvio-padrão amostral (estimador sem viés):
S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2=\frac{1,3278}{18}=0,073766\ldots
S=\sqrt{S^2}\approx 0,2716\\ \text{(toneladas)}.
Explicação: usamos n-1 no denominador porque é o estimador não viciado da variância populacional quando \mu é desconhecida.
Agora já temos \bar{X}=2,75 t e S\approx0,2716 t, que serão usados nos itens seguintes.

Passo 3

Método escolhido e por quê:
  • Como a população é assumida normal e a variância populacional é desconhecida, para uma amostra pequena ( n=19) usamos a distribuição t com n-1=18 graus de liberdade.
  • Fórmula do intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para a média:
\bar{X}\pm t_{n-1,\,1-\alpha/2}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}},
onde t_{n-1,\,1-\alpha/2} é o quantil crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade.
Aplicação numérica:
  • Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e t_{18,\,0,975}\approx 2,1009 (valor tabelado).
  • Erro padrão da média: \dfrac{S}{\sqrt{n}}=\dfrac{0,2716}{\sqrt{19}}\approx 0,0623.
  • Margem de erro:
ME = t_{18,\,0,975}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}\approx 2,1009\cdot 0,0623\approx 0,1309\\ \text{(toneladas)}.
  • Intervalo de confiança:
\bar{X}\pm ME = 2,75 \pm 0,1309 \Rightarrow (2,75-0,1309,\;2,75+0,1309)=(2,619,\;2,881).
Interpretação didática e informal: com base nesta amostra de 19 viagens e assumindo normalidade, temos 95\% de confiança de que a verdadeira carga média por viagem \mu está entre aproximadamente 2,619 t e 2,881 t. Isso significa que, se repetíssemos esse procedimento muitas vezes, 95% dos intervalos construídos assim conteriam a verdadeira média.

Passo 4

Objetivo e fórmula:
  • Queremos escolher n tal que a margem de erro de um IC de 95\% seja E (em toneladas).
  • Quando a variância populacional é desconhecida mas temos uma estimativa preliminar S (aqui usamos S da amostra inicial), a fórmula aproximada para planejar n é
n \approx \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,S}{E}\right)^2,
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão (para 95\%, z_{0,975}=1,96). Explicação: usamos z em vez de t para cálculo de tamanho porque, no planejamento, t depende de n desconhecido e o uso de z é a aproximação usual (se for necessário, pode-se fazer correção iterativa usando t). Aqui usaremos S\approx0,2716 como estimativa de \sigma.
Cálculos passo a passo:
  • Constante z_{0,975}\cdot S = 1,96\cdot 0,2716 \approx 0,5323.
Agora para cada E:
i) E=0,150 t:
n \approx \left(\frac{0,5323}{0,150}\right)^2 \approx (3,5489)^2 \approx 12,59\Rightarrow \text{arredondar para cima } n=13.
Comparação: amostra atual n=19 é maior que 13. Logo a amostra atual é suficiente para obter erro \le 0,150 t.
ii) E=0,120 t:
n \approx \left(\frac{0,5323}{0,120}\right)^2 \approx (4,4361)^2 \approx 19,68\Rightarrow n=20 \text{ (arredondando para cima).}
Comparação: amostra atual n=19 é menor que 20. Logo a amostra atual NÃO é suficiente (faltaria 1 observação).
iii) E=0,100 t:
n \approx \left(\frac{0,5323}{0,100}\right)^2 \approx (5,3234)^2 \approx 28,34\Rightarrow n=29.
Comparação: n=19 insuficiente (faltam 10 observações).
iv) E=0,050 t:
n \approx \left(\frac{0,5323}{0,050}\right)^2 \approx (10,6467)^2 \approx 113,4\Rightarrow n=114.
Comparação: n=19 muito insuficiente.
Observação didática: sempre arredondamos para cima porque se pegarmos o inteiro inferior a margem de erro será maior do que a desejada. Também expliquei por que usamos z e a estimativa S: é prática comum quando projetamos amostras com base em uma estimativa preliminar de variabilidade.

Passo 5

Método e por quê:
  • Agora n=400 é grande; embora a variância populacional seja desconhecida, pelo Teorema do Limite Central ou porque n é grande, podemos usar a normal padrão como boa aproximação. Ou equivalentemente usar t_{399} que é numericamente praticamente igual a z_{0,975}.
  • Fórmula (prática): \bar{X}\pm z_{0,975}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}.
Cálculo:
  • Erro padrão: \dfrac{S}{\sqrt{n}}=\dfrac{0,160}{\sqrt{400}}=\dfrac{0,160}{20}=0,008.
  • Margem de erro com z_{0,975}=1,96:
ME = 1,96\cdot 0,008 = 0,01568\\ \text{(toneladas)}.
  • Intervalo de confiança:
2,740\pm 0,01568 \Rightarrow (2,72432,\;2,75568)\approx (2,724,\;2,756).
Interpretação: com a amostra grande de n=400, temos 95\% de confiança de que a verdadeira média \mu está entre aproximadamente 2,724 t e 2,756 t. A margem de erro é pequena ( \approx 15,7 kg), indicando estimativa precisa.

Resposta

(a) Intervalo de confiança de 95\%: (2,619,\;2,881) toneladas.\n
(b.i) n_{\text{req}}=13. Amostra atual ( n=19) é suficiente.\n
(b.ii) n_{\text{req}}=20. Amostra atual ( n=19) NÃO é suficiente.\n
(b.iii) n_{\text{req}}=29. Amostra atual ( n=19) NÃO é suficiente.\n
(b.iv) n_{\text{req}}=114. Amostra atual ( n=19) NÃO é suficiente.\n
(c) Intervalo de confiança de 95\%: (2,724,\;2,756) toneladas.

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