Questão 1. Aplicações em dimensionamento de cargas de elevadores: 0 elevador de cabine dupla da Torre Eiffel, responsável pelo percurso (viagem) do piso térreo ao segundo andar, têm capacidade de espaço para o máximo 46 pessoas adultas (Fonte: https://www.paristickets.com/pt/eiffel-tower/elevators/). Com o objetivo de estimar a carga média
de passageiros, em toneladas por viagem, considerou-se a seguinte amostra (valores em toneladas):
2,840
2,900
2,710
2,320
2,440
2,210
2,710
2,580
2,840
2,550
2,920
2,980
2,750
2,910
3,440
2,710
2,990
2,710
2,740
Assuma que a carga
(em toneladas) de passageiros segue o modelo normal.
Item a.) ( 1,0 ponto) Determine e interprete o intervalo IC(
) para a carga média
de passageiros, em toneladas por viagem.
Item b.) ( 2,0 pontos) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de viagens com este elevador para estimar a carga média
de passageiros, assumindo um erro de estimativa igual a:
i. 150 quilos ( 0,150 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
ii. 120 quilos ( 0,120 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
iii. 100 quilos ( 0,100 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
iv. 50 quilos ( 0,050 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
Item c.) ( 1,0 ponto) Suponha que foi observada uma amostra de 400 viagens com este elevador ao longo do meses de janeiro a maio/2025 obtendo-se um carga média amostral
toneladas com um desvio-padrão amostral
toneladas. Determine e interprete o intervalo IC (
) para a carga média
de passageiros, em toneladas por viagem.
| 2,840 | 2,900 | 2,710 | 2,320 | 2,440 | 2,210 | 2,710 | 2,580 | 2,840 | 2,550 |
| 2,920 | 2,980 | 2,750 | 2,910 | 3,440 | 2,710 | 2,990 | 2,710 | 2,740 |
Item a.) ( 1,0 ponto) Determine e interprete o intervalo IC(
Item b.) ( 2,0 pontos) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de viagens com este elevador para estimar a carga média
i. 150 quilos ( 0,150 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
ii. 120 quilos ( 0,120 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
iii. 100 quilos ( 0,100 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
iv. 50 quilos ( 0,050 tonelada). A amostra de viagens é suficiente?
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de cargas por viagem (em toneladas) do elevador com os seguintes valores:
As informações relevantes e os pedidos são:
- A amostra tem
observações (essa contagem vem diretamente dos 19 números acima). - Assume-se que a variável carga
segue a distribuição normal. - Item (a): determinar e interpretar o intervalo de confiança de
para a média (em toneladas por viagem) usando a amostra de . - Item (b): calcular o tamanho de amostra necessário para obter erro de estimativa (margem de erro) igual a i.
t; ii. t; iii. t; iv. t, usando nível de confiança . Dizer se a amostra atual ( ) é suficiente em cada caso. - Item (c): com nova amostra de
que produziu t e t, determinar e interpretar o intervalo de confiança de para .
Passo 2
Primeiro calculamos as estatísticas amostrais (média e desvio-padrão amostral) da amostra de
(os números originais):
- Soma das observações:
- Média amostral:
Explicação curta: a média é a soma dos valores dividida pelo número de observações; aqui deu exatamente
t.
- Soma dos quadrados das observações (usada para o desvio):
- Soma dos quadrados das diferenças em relação à média:
Explicação didática:
é a medida total de dispersão em torno da média; obtém-se a partir de
.
- Variância amostral e desvio-padrão amostral (estimador sem viés):
Explicação: usamos
no denominador porque é o estimador não viciado da variância populacional quando
é desconhecida.
Agora já temos
t e
t, que serão usados nos itens seguintes.
Passo 3
Método escolhido e por quê:
- Como a população é assumida normal e a variância populacional é desconhecida, para uma amostra pequena (
) usamos a distribuição com graus de liberdade. - Fórmula do intervalo de confiança de
para a média:
onde
é o quantil crítico da distribuição
com
graus de liberdade.
Aplicação numérica:
- Para
de confiança, e (valor tabelado). - Erro padrão da média:
. - Margem de erro:
- Intervalo de confiança:
Interpretação didática e informal: com base nesta amostra de 19 viagens e assumindo normalidade, temos
de confiança de que a verdadeira carga média por viagem
está entre aproximadamente
t e
t. Isso significa que, se repetíssemos esse procedimento muitas vezes, 95% dos intervalos construídos assim conteriam a verdadeira média.
Passo 4
Objetivo e fórmula:
- Queremos escolher
tal que a margem de erro de um IC de seja (em toneladas). - Quando a variância populacional é desconhecida mas temos uma estimativa preliminar
(aqui usamos da amostra inicial), a fórmula aproximada para planejar é
onde
é o quantil da normal padrão (para
,
). Explicação: usamos
em vez de
para cálculo de tamanho porque, no planejamento,
depende de
desconhecido e o uso de
é a aproximação usual (se for necessário, pode-se fazer correção iterativa usando
). Aqui usaremos
como estimativa de
.
Cálculos passo a passo:
- Constante
Agora para cada
:
i)
t:
Comparação: amostra atual
é maior que
. Logo a amostra atual é suficiente para obter erro
t.
ii)
t:
Comparação: amostra atual
é menor que
. Logo a amostra atual NÃO é suficiente (faltaria 1 observação).
iii)
t:
Comparação:
insuficiente (faltam 10 observações).
iv)
t:
Comparação:
muito insuficiente.
Observação didática: sempre arredondamos para cima porque se pegarmos o inteiro inferior a margem de erro será maior do que a desejada. Também expliquei por que usamos
e a estimativa
: é prática comum quando projetamos amostras com base em uma estimativa preliminar de variabilidade.
Passo 5
Método e por quê:
- Agora
é grande; embora a variância populacional seja desconhecida, pelo Teorema do Limite Central ou porque é grande, podemos usar a normal padrão como boa aproximação. Ou equivalentemente usar que é numericamente praticamente igual a . - Fórmula (prática):
.
Cálculo:
- Erro padrão:
- Margem de erro com
:
- Intervalo de confiança:
Interpretação: com a amostra grande de
, temos
de confiança de que a verdadeira média
está entre aproximadamente
t e
t. A margem de erro é pequena (
kg), indicando estimativa precisa.
Resposta
(a) Intervalo de confiança de
:
toneladas.\n
(b.i) . Amostra atual (
) é suficiente.\n
(b.ii) . Amostra atual (
) NÃO é suficiente.\n
(b.iii) . Amostra atual (
) NÃO é suficiente.\n
(b.iv) . Amostra atual (
) NÃO é suficiente.\n
(c) Intervalo de confiança de :
toneladas.
(b.i)
(b.ii)
(b.iii)
(b.iv)
(c) Intervalo de confiança de