Questão 2. Aplicações em estudos com variáveis ambientais. Em um estudo sobre a vazão de um rio, coletou-se uma grande amostra de medições para cada período do ano obtendo-se os seguintes intervalos de confiança de
:
( 3,0 pontos) Sabendo que a vazão
desse rio segue o modelo normal e assumindo que as variâncias amostrais obtidas foram exatamente as mesmas
tanto para o período seco quanto para o período chuvoso, qual foi o tamanho da amostra em cada período? Em outras palavras, quantas medições da vazão foram feitas para cada um dos períodos acima?
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostra em cada período (quantas medições foram feitas no período seco e no período chuvoso).
Informações dadas (extraídas do enunciado):
O enunciado também diz que foi coletada uma “grande amostra”, e que o modelo de
é normal. A pergunta é: qual o valor de
em cada período?
Passo 2
Vamos calcular a meia- largura (half‑width) de cada intervalo de confiança: a meia‑largura
é metade do comprimento do intervalo, isto é,
Para o período seco (peguei os dados do enunciado: limites
e
):
Para o período chuvoso (peguei os dados do enunciado: limites
e
):
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança para a média em amostra grande (aproximação normal): para nível de confiança de
,
onde:
-
é a média amostral (não precisamos do seu valor aqui); -
é o quantil da normal padrão; para temos ; -
é o desvio padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (o que queremos achar).
A meia‑largurado intervalo é, portanto,
Justificativa de usar
e não
: o enunciado diz que foi coletada uma “grande amostra”, então a aproximação por normal (quantil
) é adequada.
Passo 4
Isolando
na expressão de
:
Passo 5
Calculemos
a partir de
:
E usemos
.
Passo 6
Aplicando a fórmula para o período seco (
):
Passo 7
Aplicando a fórmula para o período chuvoso (
):
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida (confiança): com
e
e
, a meia‑largura calculada por
dá exatamente os valores
e
usados acima, então os tamanhos de amostra encontrados são consistentes com os intervalos apresentados.
Resposta
Período seco:
Período chuvoso:
Período chuvoso: