Questão 2. Aplicações em estudos com variáveis ambientais. Em um estudo sobre a vazão de um rio, coletou-se uma grande amostra de medições para cada período do ano obtendo-se os seguintes intervalos de confiança de 95 \% :
\begin{aligned} \text { Período seco: } & {\left[19,56 \mathrm{~m}^{3} / \text { minuto } ; 21,24 \mathrm{~m}^{3} / \text { minuto }\right] } \\\ \text { Período chuvoso: } & {\left[32,32 \mathrm{~m}^{3} / \text { minuto } ; 34,28 \mathrm{~m}^{3} / \text { minuto }\right] } \end{aligned}íí
( 3,0 pontos) Sabendo que a vazão X desse rio segue o modelo normal e assumindo que as variâncias amostrais obtidas foram exatamente as mesmas S^{2}=36\left(m^{3} / \text { minuto }\right)^{2} tanto para o período seco quanto para o período chuvoso, qual foi o tamanho da amostra em cada período? Em outras palavras, quantas medições da vazão foram feitas para cada um dos períodos acima?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostra em cada período (quantas medições foram feitas no período seco e no período chuvoso).
Informações dadas (extraídas do enunciado):
\text{Período seco: } \left[19,56\\ ;\\\ 21,24\right]í
\text{Período chuvoso: } \left[32,32\\ ;\\\ 34,28\right]í
S^{2}=36\\ (\text{m}^{3}/\text{minuto})^{2}\\ \text{(mesma para os dois períodos)}í
O enunciado também diz que foi coletada uma “grande amostra”, e que o modelo de X é normal. A pergunta é: qual o valor de n em cada período?

Passo 2

Vamos calcular a meia- largura (half‑width) de cada intervalo de confiança: a meia‑largura h é metade do comprimento do intervalo, isto é,
h = \frac{\text{limite superior} - \text{limite inferior}}{2}.
Para o período seco (peguei os dados do enunciado: limites 19,56 e 21,24):
h_{\text{seco}}=\frac{21,24-19,56}{2}=\frac{1,68}{2}=0,84.
Para o período chuvoso (peguei os dados do enunciado: limites 32,32 e 34,28):
h_{\text{chuva}}=\frac{34,28-32,32}{2}=\frac{1,96}{2}=0,98.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança para a média em amostra grande (aproximação normal): para nível de confiança de 95\%,
\text{IC: }\\ \bar X \pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{S}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar X é a média amostral (não precisamos do seu valor aqui);
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão; para 95\% temos z_{0,975}=1,96;
  • S é o desvio padrão amostral (aqui S=\sqrt{S^{2}});
  • n é o tamanho da amostra (o que queremos achar).
    A meia‑largura h do intervalo é, portanto,
h = z_{0,975}\,\frac{S}{\sqrt{n}}.
Justificativa de usar z e não t: o enunciado diz que foi coletada uma “grande amostra”, então a aproximação por normal (quantil 1,96) é adequada.

Passo 4

Isolando n na expressão de h:
h = z_{0,975}\,\frac{S}{\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n} = \frac{z_{0,975}\,S}{h} \quad\Longrightarrow\quad n = \left(\frac{z_{0,975}\,S}{h}\right)^{2}.

Passo 5

Calculemos S a partir de S^{2}=36:
S=\sqrt{36}=6.
E usemos z_{0,975}=1,96.

Passo 6

Aplicando a fórmula para o período seco ( h_{\text{seco}}=0,84):
n_{\text{seco}} = \left(\frac{1,96\cdot 6}{0,84}\right)^{2} = \left(\frac{11,76}{0,84}\right)^{2} = \left(14\right)^{2} =196.

Passo 7

Aplicando a fórmula para o período chuvoso ( h_{\text{chuva}}=0,98):
n_{\text{chuva}} = \left(\frac{1,96\cdot 6}{0,98}\right)^{2} = \left(\frac{11,76}{0,98}\right)^{2} = \left(12\right)^{2} =144.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida (confiança): com n_{\text{seco}}=196 e n_{\text{chuva}}=144 e S=6, a meia‑largura calculada por h=z_{0,975}S/\sqrt{n} dá exatamente os valores 0,84 e 0,98 usados acima, então os tamanhos de amostra encontrados são consistentes com os intervalos apresentados.

Resposta

Período seco: 196
Período chuvoso: 144

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