Questão 3. Aplicações na gestão cooperativa comercial e empresarial. Com o objetivo de estimar a proporção populacional p de pagamentos via PIX no comércio municipal de Barreiras - BA, foi consultada uma amostra de n=720 pagamentos realizados em 2025, dentre os quais foram observados 333 pagamentos nesta modalidade.
Item a.) (2,0) Determine e interprete o I C(95 \%) para a proporção populacional de pagamentos via PIX no comércio municipal de Barreiras - BA.
Item b.) ( 1,0 ponto) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de pagamentos para estimar a proporção populacional de PIX assumindo uma margem de erro de 3,5 \% :
(i) Considerando os dados amostrais no enunciado. A amostra de pagamentos é suficiente?
(ii) Considerando que ainda não haja nenhuma amostra prévia. A amostra de pagamentos é suficiente?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (resumido e organizado):
  • Dados fornecidos:
    \;n=720 pagamentos amostrados em 2025.
    \;x=333 pagamentos via PIX observados na amostra.
  • Perguntas:
    a) Determine e interprete o I C(95\%) para a proporção populacional p de pagamentos via PIX no comércio municipal de Barreiras - BA.
    b) Calcule o tamanho da amostra necessário para margem de erro E=3{,}5\% ( E=0,035):
    (i) usando a estimativa amostral dada no enunciado; dizer se n=720 é suficiente;
    (ii) sem nenhuma amostra prévia (caso conservador), dizer se n=720 é suficiente.

Passo 2

Calcular a proporção amostral e explicar o que ela significa:
  • A proporção amostral \hat{p} é a estimativa natural de p e é dada por
\hat{p}=\frac{x}{n}.
  • Substituindo os valores:
\hat{p}=\frac{333}{720}=0{,}4625.
  • Interpretação simples: na amostra, 46{,}25\% dos pagamentos foram via PIX; \hat{p} será usada como melhor palpite para a proporção verdadeira p.

Passo 3

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança (IC) e explicar cada termo:
  • Para proporção, o 100(1-\alpha)\% IC aproximado (Wald) é
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
  • O que cada símbolo significa:
    • \hat{p}: proporção amostral (nosso melhor palpite).
    • z_{1-\alpha/2}: quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança; para 95\% temos z_{0{,}975}=1{,}96.
    • \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}: erro-padrão da proporção — mede a variabilidade de \hat{p} entre amostras.

Passo 4

Calcular numericamente o erro-padrão e a margem de erro para 95\%:
  • Primeiro calcule \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p})=0{,}4625\cdot(1-0{,}4625)=0{,}4625\cdot 0{,}5375=0{,}24859375.
  • Erro-padrão:
\text{SE}=\sqrt{\frac{0{,}24859375}{720}}=\sqrt{0{,}000345546...}\approx 0{,}01859.
(Expliquei: dividimos a variância amostral por n e tiramos raiz para obter desvio padrão da média de proporções.)
  • Margem de erro (com z=1{,}96):
\text{ME}=1{,}96\cdot 0{,}01859\approx 0{,}03644.
Isto é, aproximadamente 3{,}644\%.

Passo 5

Calcular o intervalo de confiança numérico e interpretá-lo:
  • Limites do IC:
\text{Limite inferior}=\hat{p}-\text{ME}=0{,}4625-0{,}03644\approx 0{,}42606,
\text{Limite superior}=\hat{p}+\text{ME}=0{,}4625+0{,}03644\approx 0{,}49894.
  • Arredondando para forma percentual útil: aproximadamente 42{,}61\% até 49{,}89\%.
  • Interpretação prática (linguagem amiga): com 95\% de confiança, o verdadeiro percentual de pagamentos via PIX no comércio municipal de Barreiras em 2025 está entre cerca de 42{,}6\% e 49{,}9\%. Isso significa que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho, cerca de 95\% desses intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção p.

Passo 6

Explicar a fórmula para tamanho de amostra quando se quer uma margem de erro E:
  • A fórmula para tamanho de amostra (aproximação pela normal) é
n=\frac{z_{1-\alpha/2}^2\; p^*(1-p^*)}{E^2},
onde p^* é a melhor estimativa de p disponível:
  • se houver uma estimativa amostral, usa-se p^*=\hat{p};
  • se não houver informação prévia, usa-se o caso conservador p^*=0{,}5 (maximiza a variância e dá tamanho de amostra “seguro”).
  • Justificativa intuitiva: p(1-p) é a variância da variável indicadora do evento; multiplicando por z^2 e dividindo por E^2 garantimos que a margem de erro seja no máximo E com o nível de confiança desejado.

Passo 7

(i) Calcular n usando a estimativa amostral \hat{p}=0{,}4625:
  • Usando z=1{,}96, E=0{,}035, p^*=0{,}4625:
n=\frac{1{,}96^2\cdot 0{,}4625(1-0{,}4625)}{0{,}035^2} =\frac{3{,}8416\cdot 0{,}24859375}{0{,}001225}.
  • Calcule o numerador:
3{,}8416\cdot 0{,}24859375\approx 0{,}954997.
  • Dividindo:
n\approx \frac{0{,}954997}{0{,}001225}\approx 779{,}59.
  • Como n deve ser inteiro e devemos garantir a margem de erro pedida, arredondamos para cima:
n=780.
  • Comparação com a amostra existente: n_{\text{atual}}=720<780. Portanto, com base na estimativa amostral, a amostra atual \;n=720 não é suficiente para garantir erro máximo 3{,}5\% com 95\% de confiança — faltariam 60 observações.

Passo 8

(ii) Calcular n no caso conservador (sem amostra prévia), usando p^*=0{,}5:
  • Fórmula com p^*=0{,}5:
n=\frac{1{,}96^2\cdot 0{,}5(1-0{,}5)}{0{,}035^2} =\frac{3{,}8416\cdot 0{,}25}{0{,}001225}.
  • Numerador:
3{,}8416\cdot 0{,}25=0{,}9604.
  • Dividindo:
n\approx \frac{0{,}9604}{0{,}001225}\approx 784{,}65.
  • Arredondando para cima:
n=785.
  • Comparação com a amostra existente: n_{\text{atual}}=720<785. Portanto, no caso conservador, a amostra atual também não é suficiente — faltariam 65 observações.

Resposta

a) I C(95\%) para p: aproximadamente 0{,}4261 até 0{,}4989 (ou seja, 42{,}61\% a 49{,}89\%).\n
b)(i) Tamanho necessário usando \hat{p}=0{,}4625: n=780. A amostra atual n=720 não é suficiente.\n
b)(ii) Tamanho necessário sem informação prévia (conservador, p=0{,}5): n=785. A amostra atual n=720 não é suficiente.

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