Questão 3. Aplicações na gestão cooperativa comercial e empresarial. Com o objetivo de estimar a proporção populacional
de pagamentos via PIX no comércio municipal de Barreiras - BA, foi consultada uma amostra de
pagamentos realizados em 2025, dentre os quais foram observados 333 pagamentos nesta modalidade.
Item a.)
Determine e interprete o
para a proporção populacional de pagamentos via PIX no comércio municipal de Barreiras - BA.
Item b.) ( 1,0 ponto) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de pagamentos para estimar a proporção populacional de PIX assumindo uma margem de erro de
:
(i) Considerando os dados amostrais no enunciado. A amostra de pagamentos é suficiente?
(ii) Considerando que ainda não haja nenhuma amostra prévia. A amostra de pagamentos é suficiente?
Item a.)
Item b.) ( 1,0 ponto) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de pagamentos para estimar a proporção populacional de PIX assumindo uma margem de erro de
(i) Considerando os dados amostrais no enunciado. A amostra de pagamentos é suficiente?
(ii) Considerando que ainda não haja nenhuma amostra prévia. A amostra de pagamentos é suficiente?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (resumido e organizado):
- Dados fornecidos:
pagamentos amostrados em 2025.
pagamentos via PIX observados na amostra. - Perguntas:
a) Determine e interprete opara a proporção populacional de pagamentos via PIX no comércio municipal de Barreiras - BA.
b) Calcule o tamanho da amostra necessário para margem de erro( ):
(i) usando a estimativa amostral dada no enunciado; dizer seé suficiente;
(ii) sem nenhuma amostra prévia (caso conservador), dizer seé suficiente.
Passo 2
Calcular a proporção amostral e explicar o que ela significa:
- A proporção amostral
é a estimativa natural de e é dada por
- Substituindo os valores:
- Interpretação simples: na amostra,
dos pagamentos foram via PIX; será usada como melhor palpite para a proporção verdadeira .
Passo 3
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança (IC) e explicar cada termo:
- Para proporção, o
IC aproximado (Wald) é
- O que cada símbolo significa:
-
: proporção amostral (nosso melhor palpite). -
: quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança; para temos . -
: erro-padrão da proporção — mede a variabilidade de entre amostras.
-
Passo 4
Calcular numericamente o erro-padrão e a margem de erro para
:
- Primeiro calcule
:
- Erro-padrão:
(Expliquei: dividimos a variância amostral por
e tiramos raiz para obter desvio padrão da média de proporções.)
- Margem de erro (com
):
Isto é, aproximadamente
.
Passo 5
Calcular o intervalo de confiança numérico e interpretá-lo:
- Limites do IC:
- Arredondando para forma percentual útil: aproximadamente
até . - Interpretação prática (linguagem amiga): com
de confiança, o verdadeiro percentual de pagamentos via PIX no comércio municipal de Barreiras em 2025 está entre cerca de e . Isso significa que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho, cerca de desses intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção .
Passo 6
Explicar a fórmula para tamanho de amostra quando se quer uma margem de erro
:
- A fórmula para tamanho de amostra (aproximação pela normal) é
onde
é a melhor estimativa de
disponível:
- se houver uma estimativa amostral, usa-se
; - se não houver informação prévia, usa-se o caso conservador
(maximiza a variância e dá tamanho de amostra “seguro”). - Justificativa intuitiva:
é a variância da variável indicadora do evento; multiplicando por e dividindo por garantimos que a margem de erro seja no máximo com o nível de confiança desejado.
Passo 7
(i) Calcular
usando a estimativa amostral
:
- Usando
, , :
- Calcule o numerador:
- Dividindo:
- Como
deve ser inteiro e devemos garantir a margem de erro pedida, arredondamos para cima:
- Comparação com a amostra existente:
. Portanto, com base na estimativa amostral, a amostra atual não é suficiente para garantir erro máximo com de confiança — faltariam observações.
Passo 8
(ii) Calcular
no caso conservador (sem amostra prévia), usando
:
- Fórmula com
:
- Numerador:
- Dividindo:
- Arredondando para cima:
- Comparação com a amostra existente:
. Portanto, no caso conservador, a amostra atual também não é suficiente — faltariam observações.
Resposta
a)
para
: aproximadamente
até
(ou seja,
a
).\n
b)(i) Tamanho necessário usando :
. A amostra atual
não é suficiente.\n
b)(ii) Tamanho necessário sem informação prévia (conservador, ):
. A amostra atual
não é suficiente.
b)(i) Tamanho necessário usando
b)(ii) Tamanho necessário sem informação prévia (conservador,