Questão aplicada à área de atuação (Eng. Ambiental e Sanitária):
Atividade de revisão Item 33 - Um vetor vento \vec{v}=(5,2) representa a direção de dispersão de um poluente. Determine a projeção da velocidade de dispersão sobre a direção leste (1,0).

Passo 1

O enunciado dá explicitamente o vetor-vento \vec{v}=(5,2) e diz que a direção leste é representada por (1,0). A pergunta é: determinar a projeção da velocidade de dispersão sobre a direção leste (1,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • Vetor velocidade: \vec{v}=(5,2).
  • Direção leste (vetor de referência): \vec{u}=(1,0).
    A partir disso devemos encontrar a projeção de \vec{v} sobre \vec{u} (vou apresentar tanto a componente escalar quanto a projeção vetorial, porque ambos são usados em problemas práticos).

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (explicados de modo simples):
  • Produto escalar (dot product): para \vec{a}=(a_x,a_y) e \vec{b}=(b_x,b_y),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y.
Isto mede quanto os vetores “apontam” na mesma direção; é um número real.
  • Norma (módulo) de um vetor \vec{w}=(w_x,w_y):
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_x^{2}+w_y^{2}}.
  • Componente escalar de \vec{v} na direção de \vec{u} (também chamado de projeção escalar):
\text{comp}_{\vec{u}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|}.
Isso dá um número: a medida da velocidade de \vec{v} ao longo da direção de \vec{u} (positiva se na mesma orientação).
  • Projeção vetorial de \vec{v} sobre \vec{u}:
\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})=\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^{2}}\right)\vec{u}.
Isto devolve um vetor que indica a parte de \vec{v} que “cai” na direção de \vec{u}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{u}. Aqui \vec{v}=(5,2) e \vec{u}=(1,0), então aplicando a fórmula do produto escalar:
\vec{v}\cdot\vec{u}=5\cdot 1 + 2\cdot 0 = 5.

Passo 4

Calcular a norma de \vec{u}. Como \vec{u}=(1,0),
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1.
Isso simplifica as fórmulas porque \vec{u} já é um vetor unitário (norma 1).

Passo 5

Calcular a componente escalar (projeção escalar) de \vec{v} na direção leste:
\text{comp}_{\vec{u}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\frac{5}{1}=5.
Interpretação: a velocidade de dispersão na direção leste tem módulo 5 (mesma unidade da velocidade original).

Passo 6

Calcular a projeção vetorial de \vec{v} sobre \vec{u}. Usando a fórmula da projeção vetorial e \|\vec{u}\|^{2}=1:
\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})=\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^{2}}\right)\vec{u}=5\cdot(1,0)=(5,0).
Interpretação física: a contribuição da velocidade total \vec{v} na direção leste é o vetor (5,0); a componente perpendicular (norte) é (0,2), então (5,0)+(0,2)=(5,2) recupera o vetor original.

Resposta

\text{Projeção vetorial} = (5,0)çã
\text{Componente escalar (na direção leste)} = 5çã

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