a) Determine a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos A e B.
b) Determine a equação do plano que contém a reta encontrada no item (a) e passa pelo ponto P.
c) Calcule a distância do ponto P ao plano obtido no item (b).
Passo 1
O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3:
A=(1,-2,3),\qquad B=(4,1,0),\qquad P=(2,0,5).
Pede-se:
(a) a equação paramétrica da reta que passa por A e B;
(b) a equação do plano que contém essa reta e passa por P;
(c) a distância do ponto P ao plano obtido no item (b).
As informações relevantes: as coordenadas de A,B,P. Não há mais dados escondidos — com esses pontos podemos construir a reta AB, um vetor diretor e, usando P, determinar o plano que contém a reta e P.
Passo 2
Encontrar a equação paramétrica da reta que passa por A e B.
Primeiro calcule o vetor diretor da reta, que é \overrightarrow{AB}=B-A. Isso se faz subtraindo coordenada a coordenada:
Determinar a equação do plano que contém a reta AB e passa por P.
Observação: um plano é determinado por um ponto e um vetor normal \mathbf{n} (perpendicular ao plano). Se tivermos dois vetores não colineares que pertencem ao plano, o produto vetorial (cross product) desses vetores dá um vetor normal.
No plano em questão temos dois vetores que pertencem ao plano:
Logo a distância é 0. Isso faz sentido: o enunciado pediu o plano que contenha a reta AB e passe por P; como o plano foi construído para passar por P, a distância de P ao próprio plano é zero.