Considere os pontos em \mathbb{R}^{3} :
A=(1,-2,3), \quad B=(4,1,0)
e o ponto
P=(2,0,5) .
a) Determine a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos A e B.
b) Determine a equação do plano que contém a reta encontrada no item (a) e passa pelo ponto P.
c) Calcule a distância do ponto P ao plano obtido no item (b).

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3:
A=(1,-2,3),\qquad B=(4,1,0),\qquad P=(2,0,5).
Pede-se:
  • (a) a equação paramétrica da reta que passa por A e B;
  • (b) a equação do plano que contém essa reta e passa por P;
  • (c) a distância do ponto P ao plano obtido no item (b).
As informações relevantes: as coordenadas de A,B,P. Não há mais dados escondidos — com esses pontos podemos construir a reta AB, um vetor diretor e, usando P, determinar o plano que contém a reta e P.

Passo 2

Encontrar a equação paramétrica da reta que passa por A e B.
  1. Primeiro calcule o vetor diretor da reta, que é \overrightarrow{AB}=B-A. Isso se faz subtraindo coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}= (4-1,\;1-(-2),\;0-3)=(3,3,-3).
Um vetor diretor equivalente, mais simples, é (1,1,-1) (dividindo por 3).
  1. A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto A=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\mathbf{r}(t)= (x_0,y_0,z_0)+t\,(v_x,v_y,v_z),
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Aplicando a A e \overrightarrow{AB} (uso aqui o vetor simplificado (1,1,-1) para deixar mais limpo):
\mathbf{r}(t)=(1,-2,3)+t\,(1,1,-1).
Em coordenadas componentes isso dá as equações paramétricas
x=1+t,\qquad y=-2+t,\qquad z=3-t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Determinar a equação do plano que contém a reta AB e passa por P.
  1. Observação: um plano é determinado por um ponto e um vetor normal \mathbf{n} (perpendicular ao plano). Se tivermos dois vetores não colineares que pertencem ao plano, o produto vetorial (cross product) desses vetores dá um vetor normal.
  2. No plano em questão temos dois vetores que pertencem ao plano:
\mathbf{v}=\overrightarrow{AB}=(3,3,-3)
e um vetor que liga A a P:
\mathbf{u}=\overrightarrow{AP}=P-A=(2-1,\;0-(-2),\;5-3)=(1,2,2).
Esses dois vetores estão no plano (pois \mathbf{v} segue a reta AB e \mathbf{u} liga A a P que está no plano).
  1. O vetor normal \mathbf{n} é o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{u}. Lembre a fórmula: para \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) e \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z),
\mathbf{v}\times\mathbf{u}=(v_y u_z - v_z u_y,\; v_z u_x - v_x u_z,\; v_x u_y - v_y u_x).
Aplicando:
\mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{u}=(3\cdot2 - (-3)\cdot2,\; (-3)\cdot1 - 3\cdot2,\; 3\cdot2 - 3\cdot1)=(12,-9,3).
Podemos simplificar por 3 e usar o normal \mathbf{n}_0=(4,-3,1).

Passo 4

Montar a equação do plano a partir do vetor normal e de um ponto.
  1. A forma ponto-normal do plano é: se \mathbf{n}=(a,b,c) é normal e Q=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então todo ponto (x,y,z) do plano satisfaz
\mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\big)=0,
ou seja
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
  1. Tomando \mathbf{n}_0=(4,-3,1) e o ponto A=(1,-2,3) (poderia usar P ou B, todos estão no plano), obtemos
4(x-1)-3(y+2)+1(z-3)=0.
Expande-se:
4x-4-3y-6+z-3=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x-3y+z-13=0.
Portanto uma forma conveniente da equação do plano é
4x-3y+z=13.
(Verificação rápida: colocar as coordenadas de A,B,P satisfaz essa equação — confirma que a reta e o ponto estão no plano.)

Passo 5

Calcular a distância do ponto P ao plano obtido.
  1. A fórmula para a distância de um ponto Q=(x_0,y_0,z_0) ao plano dado por ax+by+cz+d=0 é
\operatorname{dist}(Q,\text{plano})=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui o plano é 4x-3y+z-13=0, então a=4, b=-3, c=1, d=-13.
  1. Aplicando para P=(2,0,5):
\text{numerador}=|4\cdot2 + (-3)\cdot0 + 1\cdot5 -13|=|8+0+5-13|=|0|=0.
Logo a distância é 0. Isso faz sentido: o enunciado pediu o plano que contenha a reta AB e passe por P; como o plano foi construído para passar por P, a distância de P ao próprio plano é zero.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=(1,-2,3)+t(1,1,-1),\quad x=1+t,\;y=-2+t,\;z=3-t,\;t\in\mathbb{R}.
(b) \displaystyle 4x-3y+z=13.
(c) \displaystyle 0.

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