Considere os pontos no espaço
:
Determine:
a) A equação paramétrica do plano que passa pelos pontos
e
.
b) A equação cartesiana desse plano.
a) A equação paramétrica do plano que passa pelos pontos
b) A equação cartesiana desse plano.
Passo 1
O enunciado fornece três pontos em
:
O que é pedido:
a) A equação paramétrica do plano que passa por .
b) A equação cartesiana (implícita) desse mesmo plano.
a) A equação paramétrica do plano que passa por
b) A equação cartesiana (implícita) desse mesmo plano.
Além disso, anotar mentalmente que para determinar um plano no espaço basta um ponto e dois vetores diretores (ou um ponto e o vetor normal). Aqui temos três pontos, então podemos usar dois vetores formados por diferenças entre os pontos como vetores diretores, ou calcular o vetor normal via produto vetorial.
Passo 2
Calcular vetores diretores a partir dos pontos. Para obter
e
subtraímos coordenada a coordenada:
Explicação didática: subtrair dois pontos dá o vetor que vai do primeiro ao segundo. Esses dois vetores são dirigidos no plano procurado; se forem linearmente independentes (não colineares), então geram o plano.
Passo 3
Montar a equação paramétrica do plano usando o ponto
e os vetores diretores
e
. A forma vetorial paramétrica é
onde
são parâmetros e
representa um ponto qualquer do plano. Substituindo os vetores:
Agora escrever as componentes separadas (forma paramétrica cartesiana):
Interpretação prática: para qualquer escolha de
e
obtém-se um ponto
do plano; variando
e
percorre-se todo o plano.
Passo 4
Para obter a equação cartesiana precisamos de um vetor normal
ao plano (um vetor perpendicular a
e a
). O modo direto é calcular o produto vetorial
Lembrete do produto vetorial entre
e
:
Aplicando com
e
:
Portanto
Observação: qualquer múltiplo escalar de
também é normal; podemos simplificar dividindo por
e obter o normal mais simples
.]
Passo 5
A equação cartesiana de um plano, sabendo-se um ponto
do plano e um vetor normal
, é
Aqui podemos usar o ponto
e o normal simplificado
. Substituindo:
Simplificando:
Logo
Equivalente e mais direta:
.
Passo 6
Checagem rápida: verificar que
e
satisfazem a equação cartesiana, ou seja, testar se
para
e
.
Para
:
Para
:
Ambos satisfazem, confirmação de que a equação está correta.
Resposta
a) Equação paramétrica do plano:
ou em coordenadas
b) Equação cartesiana do plano: