Considere os pontos no espaço \mathbb{R}^{3} :
A=(1,0,2), \quad B=(3,1,-1), \quad C=(0,2,1)
Determine:
a) A equação paramétrica do plano que passa pelos pontos A, B e C.
b) A equação cartesiana desse plano.

Passo 1

O enunciado fornece três pontos em \mathbb{R}^3:
A=(1,0,2),\qquad B=(3,1,-1),\qquad C=(0,2,1).
O que é pedido:
a) A equação paramétrica do plano que passa por A,B,C.
b) A equação cartesiana (implícita) desse mesmo plano.
Além disso, anotar mentalmente que para determinar um plano no espaço basta um ponto e dois vetores diretores (ou um ponto e o vetor normal). Aqui temos três pontos, então podemos usar dois vetores formados por diferenças entre os pontos como vetores diretores, ou calcular o vetor normal via produto vetorial.

Passo 2

Calcular vetores diretores a partir dos pontos. Para obter \vec{AB} e \vec{AC} subtraímos coordenada a coordenada:
\vec{AB}=B-A=(3-1,\;1-0,\;-1-2)=(2,1,-3).
\vec{AC}=C-A=(0-1,\;2-0,\;1-2)=(-1,2,-1).
Explicação didática: subtrair dois pontos dá o vetor que vai do primeiro ao segundo. Esses dois vetores são dirigidos no plano procurado; se forem linearmente independentes (não colineares), então geram o plano.

Passo 3

Montar a equação paramétrica do plano usando o ponto A e os vetores diretores \vec{AB} e \vec{AC}. A forma vetorial paramétrica é
\vec{r}=\vec{A}+s\,\vec{AB}+t\,\vec{AC},
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros e \vec{r}=(x,y,z) representa um ponto qualquer do plano. Substituindo os vetores:
\vec{r}=(1,0,2)+s(2,1,-3)+t(-1,2,-1).
Agora escrever as componentes separadas (forma paramétrica cartesiana):
x=1+2s-t,
y=0+s+2t=s+2t,
z=2-3s-t.
Interpretação prática: para qualquer escolha de s e t obtém-se um ponto (x,y,z) do plano; variando s e t percorre-se todo o plano.

Passo 4

Para obter a equação cartesiana precisamos de um vetor normal \vec{n} ao plano (um vetor perpendicular a \vec{AB} e a \vec{AC}). O modo direto é calcular o produto vetorial
\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}.
Lembrete do produto vetorial entre \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3):
\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Aplicando com \vec{AB}=(2,1,-3) e \vec{AC}=(-1,2,-1):
\begin{aligned} n_x&=1\cdot(-1)-(-3)\cdot2=-1-(-6)=5,\\[4pt] n_y&=(-3)\cdot(-1)-2\cdot(-1)=3-(-2)=5,\\[4pt] n_z&=2\cdot2-1\cdot(-1)=4-(-1)=5. \end{aligned}
Portanto
\vec{n}=(5,5,5).
Observação: qualquer múltiplo escalar de \vec{n} também é normal; podemos simplificar dividindo por 5 e obter o normal mais simples (1,1,1).]

Passo 5

A equação cartesiana de um plano, sabendo-se um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) do plano e um vetor normal \vec{n}=(a,b,c), é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui podemos usar o ponto A=(1,0,2) e o normal simplificado (1,1,1). Substituindo:
1\cdot(x-1)+1\cdot(y-0)+1\cdot(z-2)=0.
Simplificando:
x-1+y+z-2=0.
Logo
x+y+z-3=0.
Equivalente e mais direta: x+y+z=3.

Passo 6

Checagem rápida: verificar que B e C satisfazem a equação cartesiana, ou seja, testar se x+y+z=3 para B e C.
Para B=(3,1,-1):
3+1+(-1)=3.
Para C=(0,2,1):
0+2+1=3.
Ambos satisfazem, confirmação de que a equação está correta.

Resposta

a) Equação paramétrica do plano:
\vec{r}=(1,0,2)+s(2,1,-3)+t(-1,2,-1),\quad s,t\in\mathbb{R},
ou em coordenadas
x=1+2s-t,\quad y=s+2t,\quad z=2-3s-t.
b) Equação cartesiana do plano:
x+y+z=3.

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