Questāo 1. Aplicar o método da posição falsa para encontrar uma aproximaçāo para o zero da funçīo f(x)=3 \sqrt{x}+\ln (x)-4 no intervalo [1,2] com precisoes \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-1}. Fazer arredondamentos e usar 5 causus decimals.

Passo 1

O enunciado pede que eu aplique o método da posição falsa (regula falsi) para encontrar uma aproximação do zero da função f(x)=3\sqrt{x}+\ln(x)-4 no intervalo [1,2], usando precisões \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-1} (ou seja, 0,1).\n
Informações dadas e o que exatamente é pedido:
  • Função: f(x)=3\sqrt{x}+\ln(x)-4.
  • Intervalo inicial: [1,2].
  • Critérios de parada: usar \varepsilon_{1}=10^{-1} para a diferença entre iterações (isto é, |x_{k+1}-x_k|<0,1) e \varepsilon_{2}=10^{-1} para o valor da função (isto é, |f(x_{k+1})|<0,1). Vou exigir que ambos sejam verificados para encerrar (ou que se satisfaça pelo menos a condição pedida — explicarei no passo de verificação).
  • Pedido: encontrar uma aproximação para a raiz dentro do intervalo, arredondando e usando 5 casas decimais em cada valor apresentado.

Passo 2

O que é o método da posição falsa e como ele funciona (explicação didática):
  • A ideia é parecida com o método da bissecção: precisamos de um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos — assim garantimos, por continuidade, que existe uma raiz em [a,b].
  • Em vez de dividir o intervalo ao meio, o método da posição falsa traça a reta que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação do zero. Essa interseção é um ponto que “é melhor” que o ponto médio quando a função é quase linear entre a e b.
  • Fórmula da posição falsa: se a e b são extremos com f(a) e f(b) de sinais opostos, a nova aproximação x_r é
x_r = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
  • Depois de calcular x_r, verificamos o sinal de f(x_r). Se f(a)\cdot f(x_r) < 0 então a raiz está em [a,x_r] e tomamos b \leftarrow x_r; se f(x_r)\cdot f(b) < 0 então a raiz está em [x_r,b] e tomamos a \leftarrow x_r.
  • Repetimos até que os critérios de parada sejam satisfeitos.
  • Vou arredondar todos os x e todos os f(x) a 5 casas decimais conforme pedido.

Passo 3

Checagem inicial do intervalo e cálculo de f(1) e f(2):
  • Calculo f(1):
f(1)=3\sqrt{1}+\ln(1)-4=3\cdot 1 + 0 -4 = -1.
Arredondando a 5 casas: f(1)=-1,00000.
  • Calculo f(2):
f(2)=3\sqrt{2}+\ln(2)-4\approx 3\cdot 1,4142135627 + 0,6931471806 -4 \approx 0,9357878677.
Arredondando a 5 casas: f(2)=0,93579.
  • Observação: f(1)=-1,00000<0 e f(2)=0,93579>0. Como os sinais são opostos, o teorema do valor intermediário garante uma raiz em [1,2]. Podemos aplicar a posição falsa.

Passo 4

Iteração 1 (usar a_0=1, b_0=2):
  • Dados iniciais: a_0=1, b_0=2, f(a_0)=-1,00000, f(b_0)=0,93579.
  • Aplicando a fórmula da posição falsa:
x_1 = b_0 - f(b_0)\,\frac{b_0-a_0}{f(b_0)-f(a_0)} = 2 - 0,93579\cdot\frac{2-1}{0,93579-(-1,00000)}.
  • Cálculo do denominador: 0,93579 - (-1,00000)=1,93579.
  • Fração: \dfrac{0,93579}{1,93579}\approx 0,483556.
  • Portanto x_1 \approx 2 - 0,483556 = 1,516444. Arredondando a 5 casas:
x_1 = 1,51644.
  • Agora calculo f(x_1):
f(1,51644)=3\sqrt{1,51644}+\ln(1,51644)-4\approx 0,11082.
Arredondando a 5 casas:
f(x_1)=0,11082.
  • Sinal de f(x_1) é positivo. Como f(a_0)=-1,00000 é negativo, o novo intervalo será [a_1,b_1]=[1,1,51644] (ou seja, substituímos b por x_1).

Passo 5

Verificação de critérios após a iteração 1:
  • Diferença entre aproximações: como ainda só temos uma aproximação, vamos comparar quando tivermos a próxima.
  • Valor absoluto da função: |f(x_1)|=0,11082. Comparando com \varepsilon_{2}=0,1, vemos que 0,11082>0,1; portanto a tolerância em f ainda não foi satisfeita.
  • Logo, precisamos de mais iterações.

Passo 6

Iteração 2 (usar a_1=1, b_1=1,51644):
  • Dados: a_1=1, b_1=1,51644, f(a_1)=-1,00000, f(b_1)=0,11082.
  • Aplicando a fórmula:
x_2 = b_1 - f(b_1)\,\frac{b_1-a_1}{f(b_1)-f(a_1)} = 1,51644 - 0,11082\cdot\frac{1,51644-1}{0,11082-(-1,00000)}.
  • Cálculo do denominador: 0,11082 - (-1,00000)=1,11082.
  • Numerador da fração: 0,11082\cdot(1,51644-1)=0,11082\cdot 0,51644 \approx 0,057221.
  • Dividindo: \dfrac{0,057221}{1,11082}\approx 0,05152.
  • Então x_2 \approx 1,51644 - 0,05152 = 1,46492. Arredondando a 5 casas:
x_2 = 1,46492.
  • Calculo de f(x_2):
f(1,46492)=3\sqrt{1,46492}+\ln(1,46492)-4\approx 0,01218.
Arredondando a 5 casas:
f(x_2)=0,01218.

Passo 7

Verificação de critérios após a iteração 2:
  • Diferença entre iterações: |x_2 - x_1| = |1,46492 - 1,51644| = 0,05152.
  • Comparar com \varepsilon_{1}=0,1: 0,05152 < 0,1. Portanto o critério de diferença entre iterações já é satisfeito.
  • Valor absoluto da função: |f(x_2)| = 0,01218 < 0,1. Portanto o critério sobre o valor da função também é satisfeito.
  • Como ambas tolerâncias foram atingidas, podemos encerrar o método e aceitar x_2 como aproximação da raiz dentro das precisões pedidas.

Passo 8

Resumo final do procedimento (passos essenciais que você pode replicar na prova):
  • Verifique sinais em a e b.
  • Use a fórmula da posição falsa para obter x_r.
  • Calcule f(x_r), determine qual subintervalo mantém sinais opostos e atualize a ou b.
  • Verifique critérios de parada: |x_{k+1}-x_k|<\varepsilon_{1} e |f(x_{k+1})|<\varepsilon_{2}.
  • No cálculo manual, arredonde cada valor (aqui usamos 5 casas decimais) para manter consistência e clareza nas contas.

Resposta

x \approx 1,46492

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