Questāo 1. Aplicar o método da posição falsa para encontrar uma aproximaçāo para o zero da funçīo
no intervalo
com precisoes
. Fazer arredondamentos e usar 5 causus decimals.
Passo 1
O enunciado pede que eu aplique o método da posição falsa (regula falsi) para encontrar uma aproximação do zero da função
no intervalo
, usando precisões
(ou seja,
).\n
Informações dadas e o que exatamente é pedido:
Informações dadas e o que exatamente é pedido:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Critérios de parada: usar
para a diferença entre iterações (isto é, ) e para o valor da função (isto é, ). Vou exigir que ambos sejam verificados para encerrar (ou que se satisfaça pelo menos a condição pedida — explicarei no passo de verificação). - Pedido: encontrar uma aproximação para a raiz dentro do intervalo, arredondando e usando 5 casas decimais em cada valor apresentado.
Passo 2
O que é o método da posição falsa e como ele funciona (explicação didática):
- A ideia é parecida com o método da bissecção: precisamos de um intervalo
tal que e tenham sinais opostos — assim garantimos, por continuidade, que existe uma raiz em . - Em vez de dividir o intervalo ao meio, o método da posição falsa traça a reta que liga os pontos
e e toma a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação do zero. Essa interseção é um ponto que “é melhor” que o ponto médio quando a função é quase linear entre e . - Fórmula da posição falsa: se
e são extremos com e de sinais opostos, a nova aproximação é
- Depois de calcular
, verificamos o sinal de . Se então a raiz está em e tomamos ; se então a raiz está em e tomamos . - Repetimos até que os critérios de parada sejam satisfeitos.
- Vou arredondar todos os
e todos os a 5 casas decimais conforme pedido.
Passo 3
Checagem inicial do intervalo e cálculo de
e
:
- Calculo
:
Arredondando a 5 casas:
.
- Calculo
:
Arredondando a 5 casas:
.
- Observação:
e . Como os sinais são opostos, o teorema do valor intermediário garante uma raiz em . Podemos aplicar a posição falsa.
Passo 4
Iteração 1 (usar
,
):
- Dados iniciais:
, , , . - Aplicando a fórmula da posição falsa:
- Cálculo do denominador:
. - Fração:
. - Portanto
. Arredondando a 5 casas:
- Agora calculo
:
Arredondando a 5 casas:
- Sinal de
é positivo. Como é negativo, o novo intervalo será (ou seja, substituímos por ).
Passo 5
Verificação de critérios após a iteração 1:
- Diferença entre aproximações: como ainda só temos uma aproximação, vamos comparar quando tivermos a próxima.
- Valor absoluto da função:
. Comparando com , vemos que ; portanto a tolerância em ainda não foi satisfeita. - Logo, precisamos de mais iterações.
Passo 6
Iteração 2 (usar
,
):
- Dados:
, , , . - Aplicando a fórmula:
- Cálculo do denominador:
. - Numerador da fração:
. - Dividindo:
. - Então
. Arredondando a 5 casas:
- Calculo de
:
Arredondando a 5 casas:
Passo 7
Verificação de critérios após a iteração 2:
- Diferença entre iterações:
. - Comparar com
: . Portanto o critério de diferença entre iterações já é satisfeito. - Valor absoluto da função:
. Portanto o critério sobre o valor da função também é satisfeito. - Como ambas tolerâncias foram atingidas, podemos encerrar o método e aceitar
como aproximação da raiz dentro das precisões pedidas.
Passo 8
Resumo final do procedimento (passos essenciais que você pode replicar na prova):
- Verifique sinais em
e . - Use a fórmula da posição falsa para obter
. - Calcule
, determine qual subintervalo mantém sinais opostos e atualize ou . - Verifique critérios de parada:
e . - No cálculo manual, arredonde cada valor (aqui usamos 5 casas decimais) para manter consistência e clareza nas contas.