Questão 5. Aplique o método de separação de variáveis para encontrar as soluções na forma de produto
para a equação do calor com um termo de dissipação:
onde
e
são constantes positivas. Analise os três casos para a constante de separação (nula, positiva e negativa).
Passo 1
O enunciado pede para usar separação de variáveis na PDE
procurando soluções do tipo
O conteúdo é método de separação de variáveis aplicado à equação do calor com termo de dissipação, e vamos precisar transformar a PDE em duas ODEs acopladas por uma constante de separação.
Passo 2
Substituindo
na PDE obtemos
Dividindo ambos os lados por
vem
Como o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, igualamos ambos a uma constante que chamamos de
:
Passo 3
Escrevendo as duas ODEs resultantes:
A solução geral de
é
onde
é constante arbitrária.
Passo 4
Caso
.
A equação de fica
A equação de
E a de
é
Logo, para
,
Passo 5
Caso
. Defina
com
.
A equação de é
A equação de
E
Portanto, para
,
Passo 6
Caso
. Defina
com
.
Então
Então
e
Logo, para
,
Resposta
As soluções separáveis são, em geral,
com
e as formas de
dadas por:
(a) :
.
(b) :
.
(c) :
.
Em cada caso, .
(a)
(b)
(c)
Em cada caso,