Questão 4. Considere a equação diferencial parcial linear de segunda ordem:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+5 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+4 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
Verifique se u(x, y)=F(4 x-y)+G(x-y) é uma solução da equação, onde F e G são funções arbitrárias duas vezes diferenciáveis.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial parcial de segunda ordem
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + 5\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y} + 4\,\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0
e propõe a solução geral
u(x,y) = F(4x - y) + G(x - y),
onde F e G são funções arbitrárias duas vezes diferenciáveis. Vamos verificar, usando a regra da cadeia, que esse u de fato anula a equação.

Passo 2

Definimos as novas variáveis
s = 4x - y, \quad t = x - y.
Então
u(x,y) = F(s) + G(t).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para as derivadas de primeira ordem, temos
u_x = F'(s)\,\frac{\partial s}{\partial x} \;+\; G'(t)\,\frac{\partial t}{\partial x} = 4\,F'(s) + 1\,G'(t),
u_y = F'(s)\,\frac{\partial s}{\partial y} \;+\; G'(t)\,\frac{\partial t}{\partial y} = (-1)\,F'(s) + (-1)\,G'(t) = -\,F'(s) - G'(t).

Passo 4

Agora derivamos de novo para obter as segundas derivadas. Como \partial s/\partial x=4, \partial s/\partial y=-1, \partial t/\partial x=1, \partial t/\partial y=-1, vem
u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4F'(s)+G'(t)\bigr) = 4\,F''(s)\,4 \;+\; G''(t)\,1 = 16\,F''(s) + G''(t),
u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4F'(s)+G'(t)\bigr) = 4\,F''(s)\,(-1) \;+\; G''(t)\,(-1) = -4\,F''(s) - G''(t),
u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-F'(s)-G'(t)\bigr) = -F''(s)\,(-1) \;-\; G''(t)\,(-1) = F''(s) + G''(t).

Passo 5

Substituindo na equação original, obtemos
u_{xx} + 5\,u_{xy} + 4\,u_{yy} = \bigl(16F''+G''\bigr) +5\bigl(-4F''-G''\bigr) +4\bigl(F''+G''\bigr).
Agrupando F'' e G'':
(16 - 20 + 4)\,F''(s) \;+\;(1 - 5 + 4)\,G''(t) = 0\cdot F''(s) + 0\cdot G''(t) = 0.
Logo a combinação é identicamente zero, para quaisquer F e G.

Resposta

Sim. A função u(x,y)=F(4x-y)+G(x-y) satisfaz
u_{xx}+5\,u_{xy}+4\,u_{yy}=0
para quaisquer funções F e G C^2.

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