Questão 4. Considere a equação diferencial parcial linear de segunda ordem:
Verifique se
é uma solução da equação, onde
e
são funções arbitrárias duas vezes diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial parcial de segunda ordem
e propõe a solução geral
onde
e
são funções arbitrárias duas vezes diferenciáveis. Vamos verificar, usando a regra da cadeia, que esse
de fato anula a equação.
Passo 2
Definimos as novas variáveis
Então
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para as derivadas de primeira ordem, temos
Passo 4
Agora derivamos de novo para obter as segundas derivadas. Como
,
,
,
, vem
Passo 5
Substituindo na equação original, obtemos
Agrupando
e
:
Logo a combinação é identicamente zero, para quaisquer
e
.
Resposta
Sim. A função
satisfaz
para quaisquer funções
e
.