Questão 3. Seja a função f(x)\) definida por \[f(x)= \begin{cases}\sin (x), & x<0 \\\ x^{2}, & 0 \leq x<2 \\\ \frac{1}{x-1}, & x \geq 2\end{cases}
e (\delta(x-a)] a função Delta de Dirac. Calcule o valor da integral
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-\pi) f(x) d x

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} \sin(x),&x<0,\\\ x^{2},&0\le x<2,\\\ \dfrac1{x-1},&x\ge2, \end{cases}
e pede a integral
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-\pi)\,f(x)\,dx.
O conteúdo envolvido é a propriedade de amostragem (sifting property) da função Delta de Dirac, que nos permite “extrair” o valor de f no ponto em que o delta está centrado.

Passo 2

A propriedade de amostragem diz que, para uma função razoável f e um ponto a,
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)\,f(x)\,dx = f(a).
No nosso caso, a=\pi. Portanto,
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-\pi)\,f(x)\,dx = f(\pi).

Passo 3

Devemos agora avaliar f(\pi). Como \pi\approx3{,}14\ge2, usamos o ramo
f(x)=\frac1{x-1}\quad\text{para }x\ge2.
Assim,
f(\pi)=\frac1{\pi-1}.

Resposta

\frac{1}{\pi-1}

Exercícios relacionados