Questão 6 - Ar a 2 atm e 200^{\circ} \mathrm{C} é aquecido à medida que passa por um tubo com diâmetro de uma polegada a uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule (a) taxa de transferência de calor por unidade de comprimento de tubo se uma condição de fluxo de calor constante for mantida na parede e a temperatura da parede estiver 20^{\circ} \mathrm{C} acima da temperatura do ar, ao longo de todo o comprimento do tubo. Quanto (b) aumentaria a temperatura da massa ao longo de um comprimento de 3 m do tubo?
Dados: \rho=1,493 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \operatorname{Pr}=0.681 ; \mu=2.57 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s} ; k=0,0386 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ; C_{p}=1025 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pedido:
    • (a) Calcular a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo (ou seja, q' em \mathrm{W/m}), quando a parede mantém um fluxo de calor constante e a temperatura da parede está sempre 20^\circ\mathrm{C} acima da temperatura do ar ao longo do tubo.
    • (b) Determinar quanto a temperatura da massa de ar aumenta ao longo de um comprimento L=3\\ \mathrm{m} do tubo.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • Temperatura do ar inicial: 200^\circ\mathrm{C} (não é necessária para o cálculo da razão de transferência por unidade de comprimento quando a diferença T_w-T é fixa, mas serve para contexto).
    • Diferença entre temperatura da parede e do ar ao longo do tubo: \Delta T = 20^\circ\mathrm{C}.
    • Diâmetro do tubo: 1\\ \text{polegada} = 0,0254\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade axial do ar: V = 10\\ \mathrm{m/s}.
    • Propriedades do ar (consideradas constantes):
      • \rho = 1,493\\ \mathrm{kg/m^3}
      • \Pr = 0,681
      • \mu = 2{,}57\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}
      • k = 0{,}0386\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}
      • C_p = 1025\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}

Passo 2

Geometria do tubo e área/ perímetro que vamos usar.
  • Diâmetro: \,D = 0,0254\\ \mathrm{m}.
  • Área da secção transversal: A = \frac{\pi D^2}{4}.Vou calcular numericamente isso mais adiante.
  • Perímetro interno (para converter fluxo por área em fluxo por comprimento): P = \pi D.

Passo 3

Determinar o regime de escoamento (Reynolds) e escolher a correlação convectiva apropriada.
  • Definição de Reynolds para escoamento interno: \mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu}.Substituindo os valores: \mathrm{Re} = \frac{1{,}493\cdot 10\cdot 0{,}0254}{2{,}57\times10^{-5}} \approx 1{,}48\times10^{4}.
  • Interpretação: \mathrm{Re}\approx1{,}48\times10^{4} > 4000, portanto o escoamento é turbulento. Para convecção interna turbulenta em tubos lisos e com propriedades aproximadamente constantes, uma correlação prática e comum é a correlação de Dittus–Boelter: \mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\Pr^{n},onde \mathrm{Nu} é o número de Nusselt e o expoente n vale 0{,}4 quando o fluido é aquecido pela parede (isto é, parede mais quente que o fluido), como é o nosso caso. Explicando rapidamente:
    • \mathrm{Nu} = \dfrac{h D}{k} relaciona o coeficiente convectivo h com as propriedades do fluido.
    • A correlação dá uma estimativa prática de \mathrm{Nu} para escoamento turbulento interno.

Passo 4

Calcular \mathrm{Nu} e o coeficiente convectivo h.
  • Calculemos \mathrm{Nu}: \mathrm{Nu} = 0{,}023\;\mathrm{Re}^{0{,}8}\Pr^{0{,}4}.Já temos \mathrm{Re}\approx1{,}476\times10^{4} e \Pr=0{,}681. Então \mathrm{Re}^{0{,}8}\approx 2{,}165\times10^{3},\qquad \Pr^{0{,}4}\approx 0{,}858.Assim \mathrm{Nu} \approx 0{,}023\cdot 2{,}165\times10^{3}\cdot 0{,}858 \approx 42{,}75.
  • Agora relacionamos \mathrm{Nu} com h: h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.Substituindo números: h \approx \frac{42{,}75\cdot 0{,}0386}{0{,}0254} \approx 64{,}96\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.(Arredondando, h\approx 65{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.)

Passo 5

Calcular a taxa de calor por unidade de comprimento q'.
  • A lei da convecção local diz que o fluxo de calor por unidade de área é q'' = h\,(T_w - T_{\text{ar local}}).Pelo enunciado T_w - T_{\text{ar local}} = 20^\circ\mathrm{C}, logo q'' = h\cdot 20.
  • O fluxo por unidade de comprimento do tubo é q' = q''\cdot P = h\cdot 20\cdot(\pi D).Substituindo valores: q' \approx 64{,}96\cdot 20\cdot(\pi\cdot 0{,}0254) \approx 103{,}7\\ \mathrm{W/m}.(Arredondando, q'\approx 104{,}0\\ \mathrm{W/m}.)

Passo 6

Calcular a vazão mássica \dot{m} do ar necessária para o balanço energético.
  • Área da secção: A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}0254)^2}{4} \approx 5{,}067\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Vazão volumétrica: \dot{V} = A\,V \approx 5{,}067\times10^{-4}\cdot 10 = 5{,}067\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Vazão mássica: \dot{m} = \rho\,\dot{V} \approx 1{,}493\cdot 5{,}067\times10^{-3} \approx 7{,}566\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Balanço de energia para aumento de temperatura ao longo de um comprimento L.
  • Considere um pequeno trecho dx. A energia transferida para o fluido por esse trecho é q'\,dx (pois q' é potência por unidade de comprimento). Essa energia aumenta a entalpia do fluido: \dot{m} C_p\, dT = q'\, dx.Reorganizando: \frac{dT}{dx} = \frac{q'}{\dot{m} C_p}.Integrando ao longo de x de 0 a L obtemos a variação de temperatura da massa: \Delta T = T(L)-T(0) = \frac{q' L}{\dot{m} C_p}.
  • Substituindo os valores numéricos ( q'\approx103{,}7\\ \mathrm{W/m}, L=3\\ \mathrm{m}, \dot{m}\approx7{,}566\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}, C_p=1025\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}): \Delta T \approx \frac{103{,}7\cdot 3}{7{,}566\times10^{-3}\cdot 1025} \approx \frac{311{,}1}{7{,}755} \approx 40{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Comentário rápido (motivacional): é normal achar esse tipo de conta longa no começo — respirou fundo, fez tudo direitinho e chegamos às respostas com princípios simples: correlação para h, conversão para q' e balanço de energia para \Delta T. Você tá indo bem!

Resposta

(a) q' \approx 104{,}0\\ \mathrm{W/m}
(b) \Delta T \approx 40{,}1^\circ\mathrm{C}

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