Questão 5 - Ar a 20^{\circ} \mathrm{C} entra em um duto retangular de ( 0,1 \times 0,05 \times 10 ) m. A temperatura do ar que deixa o duto é de 35{ }^{\circ} \mathrm{C}. A velocidade média do ar é de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e as paredes internas do duto estão a 76{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine (a) a taxa de transferência de calor do ar e (b) estime o coeficiente médio de transferência de calor para o caso.
\rho=1,160 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; k=26 \times 10^{-3} \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ; v=16 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \quad C_{p}=1006,3 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \operatorname{Pr}=0,713

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos esses números do enunciado):
  • Pedidos:
    (a) determinar a taxa de transferência de calor do ar ( \dot{Q});
    (b) estimar o coeficiente médio de transferência de calor por convecção ( h).
  • Dados (todos extraídos do enunciado):
    • Dimensões do duto (retangular): 0{,}1\times0{,}05\times10 m (largura \times altura \times comprimento).
    • Temperatura do ar na entrada: T_{\text{in}}=20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar na saída: T_{\text{out}}=35^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura das paredes internas: T_{w}=76^\circ\mathrm{C}.
    • Velocidade média do ar: U=20\\ \mathrm{m/s}.
    • Propriedades do ar (à temperatura média aproximada):
      • Densidade: \rho=1{,}160\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
      • Condutividade térmica: k=26\times10^{-3}\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}.
      • Viscosidade cinemática: \nu=16\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
      • Capacidade térmica: C_{p}=1006{,}3\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
      • Número de Prandtl: \mathrm{Pr}=0{,}713.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica e a vazão mássica (para usar no balanço de energia).
  • Área da seção transversal do duto:
A = 0{,}1 \times 0{,}05 = 0{,}005\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Vazão volumétrica:
\dot{V} = A\,U = 0{,}005 \times 20 = 0{,}1\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Vazão mássica:
\dot{m} = \rho\,\dot{V} = 1{,}160 \times 0{,}1 = 0{,}116\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação rápida (didática): \dot{V} é o volume de ar que passa por segundo; multiplicando por \rho obtemos quantos quilogramas de ar passam por segundo ( \dot{m}). Esses passos são padrão em problemas de convecção onde se usa o balanço energético do fluido.

Passo 3

Determinar a taxa de transferência de calor pelo ar usando balanço de energia (primeiro princípio, para regime estacionário sem acumulação de energia no ar dentro do duto):
A variação de energia do ar por segundo é
\dot{Q}=\dot{m}\,C_{p}\,\bigl(T_{\text{out}}-T_{\text{in}}\bigr).
Substituindo os valores:
\dot{Q}=0{,}116 \times 1006{,}3 \times (35-20).
Calcule passo a passo:
35-20=15,
1006{,}3\times15 = 15094{,}5,
0{,}116\times15094{,}5 = 1750{,}962\\ \mathrm{W}.
Portanto, numericamente,
\dot{Q} \approx 1{,}751\times10^{3}\\ \mathrm{W}\quad(\text{aproximadamente }1{,}75\\ \mathrm{kW}).
Comentário didático: isso diz que o ar ganhou energia térmica ao atravessar o duto; a energia recebida provém da parede quente por convecção. Em prova, essa é a forma direta de relacionar vazão mássica e aquecimento do fluido.

Passo 4

Encontrar o diâmetro hidráulico da seção retangular (para usar correlações de convecção interna).
  • Área já calculada: A=0{,}005\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro molhado (contato do fluido com paredes): P=2(0{,}1+0{,}05)=0{,}3\\ \mathrm{m}.
Diâmetro hidráulico:
D_{h}=\frac{4A}{P}=\frac{4\times0{,}005}{0{,}3}=\frac{0{,}02}{0{,}3}=0{,}066666\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando,
D_{h}=0{,}0667\\ \mathrm{m}.
Explicação didática: para canais não-circulares a característica geométrica que substitui o diâmetro é D_h; ele é a razão entre quatro vezes a área e o perímetro molhado, e é usado em Re, Nu, etc.

Passo 5

Calcular o número de Reynolds e verificar o regime de escoamento (laminar/turbulento) e se as hipóteses para usar correlações turbulentas valem.
  • Definição:
\mathrm{Re}=\frac{U\,D_{h}}{\nu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{20\times0{,}0666667}{16\times10^{-6}}.
Calcule:
20\times0{,}0666667 = 1{,}3333334,
\mathrm{Re}=\frac{1{,}3333334}{16\times10^{-6}} \approx 83333{,}3.
Conclusão: \mathrm{Re}\approx8{,}33\times10^{4}, portanto o escoamento é turbulento (geralmente \mathrm{Re}>4000 é turbulento).
Verificação de comprimento para desenvolvimento: L/D_{h} = 10 / 0{,}0667 \approx 150. Em escoamento turbulento o comprimento de entrada térmico/hidrodinâmico é da ordem de algumas dezenas de D_h (tipicamente \sim 10D_h ou mais); como L/D_h\approx150 o escoamento pode ser considerado termicamente e hidrodinamicamente desenvolvido em grande parte do duto. Isso justifica usar correlações para fluxo interno totalmente desenvolvido (ou pelo menos suficientemente desenvolvido).

Passo 6

Escolha da correlação para número de Nusselt e explicação: usar a correlação de Dittus–Boelter para escoamento interno turbulento (válida para tubos suaves, \mathrm{Re}\gtrsim10^{4}, 0{,}7\lesssim\mathrm{Pr}\lesssim160, e aquecimento do fluido). A correlação é simples e apropriada para estimativas em provas.
A correlação (para aquecimento do fluido, parede mais quente que o fluido) é:
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4}.
Explicando as variáveis:
  • \mathrm{Nu} é o número de Nusselt, que relaciona convecção e condução: \mathrm{Nu}=hD_{h}/k.
  • \mathrm{Re} já foi calculado.
  • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl dado ( 0{,}713).
  • O expoente 0{,}4 em \mathrm{Pr} é usado porque o fluido está sendo aquecido (parede mais quente).
Agora computar \mathrm{Nu}.
Calcule \mathrm{Re}^{0{,}8}:
\mathrm{Re}^{0{,}8} = (8{,}333\times10^{4})^{0{,}8} \approx 8651\\ \text{(aprox.)}.
Calcule \mathrm{Pr}^{0{,}4}:
\mathrm{Pr}^{0{,}4} = (0{,}713)^{0{,}4} \approx 0{,}872\\ \text{(aprox.)}.
Portanto
\mathrm{Nu} \approx 0{,}023 \times 8651 \times 0{,}872 \approx 173{,}5.
Comentário: para canais retangulares, usar D_h e aplicar correlações para tubos é prática comum em estimativas; em prova, isso costuma ser aceito salvo indicação contrária.

Passo 7

Calcular o coeficiente médio h a partir de \mathrm{Nu}:
Relação entre \mathrm{Nu}, h, k e D_h:
\mathrm{Nu} = \frac{h\,D_{h}}{k} \quad\Rightarrow\quad h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D_{h}}.
Substituindo números:
h = \frac{173{,}5 \times 26\times10^{-3}}{0{,}0666667}.
Calcule passo a passo:
173{,}5 \times 0{,}026 = 4{,}511.
h = \frac{4{,}511}{0{,}0666667} \approx 67{,}7\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot^\circ C)}.
Interpretação didática: esse h é uma estimativa média do coeficiente de convecção na superfície interna do duto. Valores da ordem de algumas dezenas de \mathrm{W/(m^{2}\cdot^\circ C)} são típicos para ar em escoamento forçado em dutos.

Resposta

(a) \dot{Q}=1{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{W}
(b) h\approx67{,}7\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot^\circ C)}

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