Questão 4 - Ar entra em um duto circular de 3 cm de diâmetro com uma velocidade média de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A superfície do duto está a uma temperatura uniforme de 80^{\circ} \mathrm{C}, enquanto que a temperatura do ar que entra no duto é de 15^{\circ} \mathrm{C}. Determine o comprimento de duto necessário para obter uma temperatura de 35^{\circ} \mathrm{C} para o ar na saída. O coeficiente médio de transferência de calor é de 80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}.
\rho=1,160 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; k=26 \times 10^{-3} \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ; v=16 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \quad C_{p}=1006,3 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \operatorname{Pr}=0,713

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do duto necessário para que o ar que entra a 15^\circ\mathrm{C} saia a 35^\circ\mathrm{C}, sabendo que a parede do duto está a 80^\circ\mathrm{C} e que o coeficiente médio de troca convectiva é 80\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}. Vou listar todas as informações numéricas que temos (peguei esses valores do enunciado):
  • Diâmetro do duto: D=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média do ar: V=20\\ \mathrm{m/s}.
  • Temperatura da parede do duto: T_w=80^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de entrada do ar: T_{\mathrm{in}}=15^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura desejada na saída: T_{\mathrm{out}}=35^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo médio: h=80\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade do ar: \rho=1{,}160\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Calor específico: C_p=1006{,}3\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}.
  • (Também foram fornecidos k, \nu, \mathrm{Pr}, mas não serão necessários diretamente porque h já é dado.)
O que o problema pede: determinar o comprimento x do duto tal que a temperatura do ar ao longo dele passe de T_{\mathrm{in}}=15^\circ\mathrm{C} para T_{\mathrm{out}}=35^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial de energia — ideia e variáveis.
Explicando a ideia física de forma simples: o ar que passa pelo duto troca calor com a parede por convecção. Em um pequeno comprimento dx do duto, a potência de calor transferida da parede para o fluido é \dot{Q} = h\,P\, (T_w - T)\,dx, onde:
  • h é o coeficiente convectivo (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}),
  • P é o perímetro interno do duto (em \mathrm{m}),
  • T_w é a temperatura da parede (em ^{\circ}\mathrm{C}),
  • T é a temperatura do fluido naquele corte (em ^{\circ}\mathrm{C}),
  • dx é o comprimento infinitesimal considerado.
A variação de energia do ar que atravessa dx é dada por \dot{m} C_p\, dT, onde \dot{m} é a vazão mássica (kg/s) e C_p é o calor específico. Igualando potência de calor recebida à variação de energia do fluido obtemos a equação de balanço:
\dot{m} C_p\, \frac{dT}{dx} = h\,P\,(T_w - T).
Aqui cada variável significa exatamente:
  • \dot{m}: vazão mássica do ar ( \mathrm{kg/s}),
  • C_p: calor específico do ar ( \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}),
  • dT/dx: derivada da temperatura ao longo do duto ( ^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{m}),
  • h\,P\,(T_w - T): taxa de calor transferida por unidade de comprimento ( \mathrm{W}/\mathrm{m}).
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem que descreve o aquecimento exponencial do fluido ao longo do duto quando a parede tem temperatura constante.

Passo 3

Cálculo do perímetro, área e vazão mássica.
Perímetro interno do duto (circunferência):
P=\pi D.
Área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Vazão mássica:
\dot{m}=\rho A V.
Agora substituo os valores numéricos passo a passo.
Cálculo de A:
A=\frac{\pi (0{,}03)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}000225=0{,}000225\pi\\ \mathrm{m}^2.
Se for preciso um valor numérico:
A \approx 0{,}000225\cdot 3{,}14159265 \approx 0{,}000706858\\ \mathrm{m}^2.
Cálculo de P:
P=\pi(0{,}03)\approx 0{,}0942478\\ \mathrm{m}.
Cálculo de \dot{m}:
\dot{m}=\rho A V = 1{,}160 \times 0{,}000706858 \times 20.
Fazendo as contas com calma:
0{,}000706858\times 20 = 0{,}01413716,
\dot{m}=1{,}160\times 0{,}01413716 \approx 0{,}016399106\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando conservadoramente: \dot{m}\approx 0{,}0163991\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Resolver a equação diferencial e obter a expressão de T(x).
A equação do Passo 2 pode ser escrita como
\frac{dT}{dx} = \frac{hP}{\dot{m}C_p}\,(T_w - T).
Isso é uma EDO linear com solução exponencial. Vou resolver explicitamente: reorganizando,
\frac{dT}{dx} + \frac{hP}{\dot{m}C_p}T = \frac{hP}{\dot{m}C_p}T_w.
A solução geral (padrão para equações da forma dT/dx + aT = aT_w) é
T(x) = T_w - \bigl(T_w - T_{\mathrm{in}}\bigr)\exp\!\left(-\frac{hP}{\dot{m}C_p}\,x\right).
Explicando em palavras: o fluido tende assintoticamente à temperatura da parede T_w seguindo um decaimento exponencial da diferença de temperatura inicial.

Passo 5

Isolar x para obter o comprimento necessário quando T(x)=T_{\mathrm{out}}.
Da fórmula anterior:
T_{\mathrm{out}} = T_w - \bigl(T_w - T_{\mathrm{in}}\bigr)\exp\!\left(-\frac{hP}{\dot{m}C_p}\,x\right).
Isolando a exponencial:
\exp\!\left(-\frac{hP}{\dot{m}C_p}\,x\right) = \frac{T_w - T_{\mathrm{out}}}{T_w - T_{\mathrm{in}}}.
Tomando logaritmo natural e resolvendo para x:
x = -\frac{\dot{m}C_p}{hP}\,\ln\!\left(\frac{T_w - T_{\mathrm{out}}}{T_w - T_{\mathrm{in}}}\right).
Agora vou calcular o coeficiente \dfrac{hP}{\dot{m}C_p} numericamente (já tínhamos h, P, \dot{m}, C_p).
Cálculo do numerador hP:
hP = 80\times 0{,}0942478 \approx 7{,}539824\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}.
Cálculo do denominador \dot{m}C_p:
\dot{m}C_p \approx 0{,}016399106\times 1006{,}3 \approx 16{,}5024204\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
Portanto
\frac{hP}{\dot{m}C_p} \approx \frac{7{,}539824}{16{,}5024204}\approx 0{,}45686\\ \mathrm{m}^{-1}.
Agora a razão inside do ln:
\frac{T_w - T_{\mathrm{out}}}{T_w - T_{\mathrm{in}}}=\frac{80-35}{80-15}=\frac{45}{65}=0{,}6923077\ldots
Logaritmo:
\ln\!\left(0{,}6923077\right)\approx -0{,}367724.
Finalmente:
x = -\frac{1}{0{,}45686}\times(-0{,}367724)\approx \frac{0{,}367724}{0{,}45686}\approx 0{,}8049\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática: x \approx 0{,}805\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final rápida e checagem de ordem de grandeza.
O comprimento obtido, cerca de 0{,}8\\ \mathrm{m}, faz sentido físico: com fluxo relativamente rápido ( 20\\ \mathrm{m/s}) e h moderado, precisa-se de menos de um metro para elevar o ar em 20^\circ\mathrm{C} quando a parede está bem mais quente. Isso é compatível com a expressão exponencial: quanto maior h ou maior perímetro, menor o comprimento necessário; quanto maior a massa que passa por segundo (maior \dot{m} ou C_p), maior o comprimento necessário.
Força extra de incentivo: você já montou o balanço, integrou a EDO e fez as contas — esse tipo de questão cai muito em prova e, com esse passo a passo, você consegue repetir para outros valores ou checar limites (por exemplo, se h\to\infty o comprimento necessário tende a zero, como esperado).

Resposta

x \approx 0{,}805\\ \mathrm{m}

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