Questão 4 - Ar entra em um duto circular de 3 cm de diâmetro com uma velocidade média de
. A superfície do duto está a uma temperatura uniforme de
, enquanto que a temperatura do ar que entra no duto é de
. Determine o comprimento de duto necessário para obter uma temperatura de
para o ar na saída. O coeficiente médio de transferência de calor é de
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do duto necessário para que o ar que entra a
saia a
, sabendo que a parede do duto está a
e que o coeficiente médio de troca convectiva é
. Vou listar todas as informações numéricas que temos (peguei esses valores do enunciado):
- Diâmetro do duto:
. - Velocidade média do ar:
. - Temperatura da parede do duto:
. - Temperatura de entrada do ar:
. - Temperatura desejada na saída:
. - Coeficiente convectivo médio:
. - Densidade do ar:
. - Calor específico:
. - (Também foram fornecidos
, , , mas não serão necessários diretamente porque já é dado.)
O que o problema pede: determinar o comprimento
do duto tal que a temperatura do ar ao longo dele passe de
para
.
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial de energia — ideia e variáveis.
Explicando a ideia física de forma simples: o ar que passa pelo duto troca calor com a parede por convecção. Em um pequeno comprimento
do duto, a potência de calor transferida da parede para o fluido é
, onde:
-
é o coeficiente convectivo (em ), -
é o perímetro interno do duto (em ), -
é a temperatura da parede (em ), -
é a temperatura do fluido naquele corte (em ), -
é o comprimento infinitesimal considerado.
A variação de energia do ar que atravessa
é dada por
, onde
é a vazão mássica (kg/s) e
é o calor específico. Igualando potência de calor recebida à variação de energia do fluido obtemos a equação de balanço:
Aqui cada variável significa exatamente:
-
: vazão mássica do ar ( ), -
: calor específico do ar ( ), -
: derivada da temperatura ao longo do duto ( ), -
: taxa de calor transferida por unidade de comprimento ( ).
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem que descreve o aquecimento exponencial do fluido ao longo do duto quando a parede tem temperatura constante.
Passo 3
Cálculo do perímetro, área e vazão mássica.
Perímetro interno do duto (circunferência):
Área da seção transversal:
Vazão mássica:
Agora substituo os valores numéricos passo a passo.
Cálculo de
:
Se for preciso um valor numérico:
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Fazendo as contas com calma:
Arredondando conservadoramente:
.
Passo 4
Resolver a equação diferencial e obter a expressão de
.
A equação do Passo 2 pode ser escrita como
Isso é uma EDO linear com solução exponencial. Vou resolver explicitamente: reorganizando,
A solução geral (padrão para equações da forma
) é
Explicando em palavras: o fluido tende assintoticamente à temperatura da parede
seguindo um decaimento exponencial da diferença de temperatura inicial.
Passo 5
Isolar
para obter o comprimento necessário quando
.
Da fórmula anterior:
Isolando a exponencial:
Tomando logaritmo natural e resolvendo para
:
Agora vou calcular o coeficiente
numericamente (já tínhamos
,
,
,
).
Cálculo do numerador
:
Cálculo do denominador
:
Portanto
Agora a razão inside do ln:
Logaritmo:
Finalmente:
Arredondando de forma prática:
.
Passo 6
Interpretação final rápida e checagem de ordem de grandeza.
O comprimento obtido, cerca de
, faz sentido físico: com fluxo relativamente rápido (
) e
moderado, precisa-se de menos de um metro para elevar o ar em
quando a parede está bem mais quente. Isso é compatível com a expressão exponencial: quanto maior
ou maior perímetro, menor o comprimento necessário; quanto maior a massa que passa por segundo (maior
ou
), maior o comprimento necessário.
Força extra de incentivo: você já montou o balanço, integrou a EDO e fez as contas — esse tipo de questão cai muito em prova e, com esse passo a passo, você consegue repetir para outros valores ou checar limites (por exemplo, se
o comprimento necessário tende a zero, como esperado).