Questão 2. b)
. Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para estudar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que temos: o termo geral é
. Não há mais condições (como sinais alternados) explícitas no enunciado.
Passo 2
Vou usar um teste de convergência adequado: o Teste da Razão (também chamado de Teste de d’Alembert). Vou explicar o que é e por que ele serve aqui.
O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série de termos positivos
(com
), se existe o limite
então
- se
, a série converge absolutamente; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
Aqui cada
é positivo porque
e
. O Teste da Razão costuma ser muito eficiente quando
envolve potências e fatoriais, justamente como é o caso.
Passo 3
Agora aplico o Teste da Razão ao termo
. Calculo a razão
:
Agora simplifico passo a passo:
. E
. Portanto
Passo 4
Vou tomar o limite quando
:
Como
, pelo Teste da Razão a série
converge absolutamente. (Convergência absoluta implica convergência simples; dizer “absoluta” é mais forte e útil.)
Passo 5
Além de dizer que converge, é simples encontrar a soma exata da série porque ela é quase a expansão da exponencial. Vou mostrar isso — é um truque útil para provas e cálculos rápidos.
Lembre que a série de Taylor da exponencial é
Escolhendo
,
Nossa série é
. Faço a mudança de índice
. Quando
temos
, e quando
temos
. Assim
Fatoro
:
Agora a série dentro é a série de
sem os termos
e
. Logo
Portanto
Passo 6
Simplifico a expressão para a soma:
Isso confirma a convergência e ainda nos dá o valor exato da soma.
Resposta
A série converge absolutamente. Soma
.