Questão 2. b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n+1)!}. Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n+1)!}
e pede para estudar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que temos: o termo geral é a_{n}=\dfrac{10^{n}}{(n+1)!}. Não há mais condições (como sinais alternados) explícitas no enunciado.

Passo 2

Vou usar um teste de convergência adequado: o Teste da Razão (também chamado de Teste de d’Alembert). Vou explicar o que é e por que ele serve aqui.
O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série de termos positivos \sum a_n (com a_n>0), se existe o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
então
  • se L<1, a série converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui cada a_n é positivo porque 10^n>0 e (n+1)!>0. O Teste da Razão costuma ser muito eficiente quando a_n envolve potências e fatoriais, justamente como é o caso.

Passo 3

Agora aplico o Teste da Razão ao termo a_n=\dfrac{10^{n}}{(n+1)!}. Calculo a razão a_{n+1}/a_n:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{10^{\,n+1}}{(n+2)!}}{\dfrac{10^{n}}{(n+1)!}} = \frac{10^{n+1}}{(n+2)!}\cdot\frac{(n+1)!}{10^n}.
Agora simplifico passo a passo: 10^{n+1}/10^n=10. E (n+1)!/(n+2)! = 1/(n+2). Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{10}{n+2}.

Passo 4

Vou tomar o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{10}{n+2}=0.
Como L=0<1, pelo Teste da Razão a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{10^{n}}{(n+1)!} converge absolutamente. (Convergência absoluta implica convergência simples; dizer “absoluta” é mais forte e útil.)

Passo 5

Além de dizer que converge, é simples encontrar a soma exata da série porque ela é quase a expansão da exponencial. Vou mostrar isso — é um truque útil para provas e cálculos rápidos.
Lembre que a série de Taylor da exponencial é
e^{x}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}.
Escolhendo x=10,
e^{10}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{10^{m}}{m!}.
Nossa série é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{10^{n}}{(n+1)!}. Faço a mudança de índice m=n+1. Quando n=1 temos m=2, e quando n\to\infty temos m\to\infty. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{n}}{(n+1)!} = \sum_{m=2}^{\infty}\frac{10^{m-1}}{m!}.
Fatoro 10^{-1}:
\sum_{m=2}^{\infty}\frac{10^{m-1}}{m!} = \frac{1}{10}\sum_{m=2}^{\infty}\frac{10^{m}}{m!}.
Agora a série dentro é a série de e^{10} sem os termos m=0 e m=1. Logo
\sum_{m=2}^{\infty}\frac{10^{m}}{m!} = e^{10} - \frac{10^{0}}{0!} - \frac{10^{1}}{1!} = e^{10} - 1 - 10.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{n}}{(n+1)!} = \frac{1}{10}\bigl(e^{10}-1-10\bigr).

Passo 6

Simplifico a expressão para a soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{n}}{(n+1)!} = \frac{e^{10}-11}{10}.
Isso confirma a convergência e ainda nos dá o valor exato da soma.

Resposta

A série converge absolutamente. Soma =\dfrac{e^{10}-11}{10}.

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