Questão 2. c)
, em que
e
. Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
sabendo que
e
. As informações relevantes são:
- a série tem termo geral
; - as constantes satisfazem
e .
Não vamos resolver nada aqui ainda; só listei o que foi pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Vamos entender o comportamento do termo geral para
grande. Divido o fator
em
para destacar a taxa dominante:
Logo o termo geral pode ser reescrito como
Aqui eu usei que
porque
.
Passo 3
Agora vamos comparar esse termo com uma série geométrica. Observação útil: para todo
temos
portanto
Invertendo essa desigualdade (mantendo sinais por termos positivos) obtemos
Multiplicando por
temos, para todo
,
Passo 4
A desigualdade do passo anterior mostra uma comparação direta com a série geométrica
. Sabemos que a série geométrica
converge porque
implica
. Pelo teste da comparação (ou comparação por termo a termo): se
para todo
a partir de algum
e
converge, então
também converge. Aplicando com
,
e
, concluímos que a série dada converge.
Passo 5
Como alternativa, podemos aplicar o teste da raiz para reforçar a intuição. Calculo a
-ésima raiz do termo:
Como
quando
, temos
. Portanto
Pelo teste da raiz, se esse limite é menor que
a série converge; aqui
porque
. Isso confirma a convergência obtida pelo teste da comparação.
Passo 6
Conclusão prática e dica para a prova: o termo dominante é
, então o termo geral é assintoticamente da ordem de
. Uma maneira direta e segura na prova é usar a desigualdade
e comparar com a geométrica que você certamente já conhece. Se quiser um argumento mais “limite”, use o teste da raiz e mostre que o limite é
.
Resposta
A série
converge para todo
com
.