Questão 2. c) \sum_{n=1}^{\infty}\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1}, em que a>b>0 e a>1. Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1}
sabendo que a>b>0 e a>1. As informações relevantes são:
  • a série tem termo geral u_n=\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1};
  • as constantes satisfazem a>b>0 e a>1.
    Não vamos resolver nada aqui ainda; só listei o que foi pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Vamos entender o comportamento do termo geral para n grande. Divido o fator a^{n} em a^{n}-b^{n} para destacar a taxa dominante:
a^{n}-b^{n}=a^{n}\left(1-\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\right).
Logo o termo geral pode ser reescrito como
\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1}=a^{-n}\,\frac{1}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^{n}}.
Aqui eu usei que b/a\in(0,1) porque b<a.

Passo 3

Agora vamos comparar esse termo com uma série geométrica. Observação útil: para todo n\ge 1 temos
0<\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\le\frac{b}{a}<1,
portanto
1-\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\ge 1-\frac{b}{a}>0.
Invertendo essa desigualdade (mantendo sinais por termos positivos) obtemos
\frac{1}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^{n}}\le\frac{1}{1-\frac{b}{a}}.
Multiplicando por a^{-n} temos, para todo n\ge1,
0<\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1} \le \frac{1}{1-\frac{b}{a}}\,a^{-n}.

Passo 4

A desigualdade do passo anterior mostra uma comparação direta com a série geométrica \sum a^{-n}. Sabemos que a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} a^{-n}
converge porque a>1 implica a^{-1}\in(0,1). Pelo teste da comparação (ou comparação por termo a termo): se 0\le u_n\le C v_n para todo n a partir de algum N e \sum v_n converge, então \sum u_n também converge. Aplicando com u_n=\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1}, v_n=a^{-n} e C=\frac{1}{1-\frac{b}{a}}, concluímos que a série dada converge.

Passo 5

Como alternativa, podemos aplicar o teste da raiz para reforçar a intuição. Calculo a n-ésima raiz do termo:
\sqrt[n]{\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1}}=\frac{1}{a\left(1-\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\right)^{1/n}}.
Como \left(\frac{b}{a}\right)^{n}\to 0 quando n\to\infty, temos \left(1-\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\right)^{1/n}\to 1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1}}=\frac{1}{a}.
Pelo teste da raiz, se esse limite é menor que 1 a série converge; aqui \tfrac{1}{a}<1 porque a>1. Isso confirma a convergência obtida pelo teste da comparação.

Passo 6

Conclusão prática e dica para a prova: o termo dominante é a^{n}, então o termo geral é assintoticamente da ordem de a^{-n}. Uma maneira direta e segura na prova é usar a desigualdade
\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1}\le\frac{1}{1-\frac{b}{a}}\,a^{-n}
e comparar com a geométrica que você certamente já conhece. Se quiser um argumento mais “limite”, use o teste da raiz e mostre que o limite é \tfrac{1}{a}<1.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1} converge para todo a>b>0 com a>1.

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