Questão 3. (2,0pt) Sejam \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) sequências de números reais tais que \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{2} e \sum_{n=1}^{\infty} y_{n}^{2} são convergentes. Mostre que \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} y_{n} é convergente. Podemos concluir que \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} y_{n} é convergente se \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} y_{n} são convergentes? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá duas sequências reais \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) e afirma que as séries \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{2} e \sum_{n=1}^{\infty} y_{n}^{2} são convergentes. Pede-se: (1) mostrar que a série \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}y_{n} é convergente; (2) responder se, no lugar das séries de quadrados, a convergência de \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} e de \sum_{n=1}^{\infty} y_{n} garante a convergência de \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}y_{n}, justificando a resposta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{2} converge e \sum_{n=1}^{\infty} y_{n}^{2} converge. Nada mais foi pedido aqui além de usar essas hipóteses para estudar a série formada pelos produtos termo a termo.
Passo 2
Definição útil e estratégia geral. Para estudar convergência de uma série é prático trabalhar com suas somas parciais. Definimos a soma parcial \displaystyle S_{N}=\sum_{n=1}^{N} x_{n}y_{n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}y_{n} converge se, e somente se, a sequência \left(S_{N}\right)_{N} converge. Uma maneira padrão de provar convergência é mostrar que \left(S_{N}\right) é uma sequência de Cauchy: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo m>n\ge N,
Vou usar essa estratégia: estimar a soma dos termos entre n+1 e m por uma quantidade que tende a zero quando n\to\infty.
Passo 3
Ferramenta principal — desigualdade de Cauchy–Schwarz para somas finitas. Vou enunciar e demonstrar de forma elementar a versão que preciso: para quaisquer números reais a_{1},\dots,a_{p} e b_{1},\dots,b_{p} vale
Essa desigualdade é a que vamos aplicar às somas parciais dos produtos x_{k}y_{k}.
Passo 4
Aplicando Cauchy–Schwarz às “caudas” da série. Para m>n aplicamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz com p=m-n, a_{k}=x_{n+k} e b_{k}=y_{n+k} (ou escrevendo diretamente índices):
Usando a hipótese de convergência das séries de quadrados para controlar as caudas. Como \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{2} converge, a sequência das caudas \displaystyle R_{n}^{(x)}=\sum_{k=n+1}^{\infty} x_{k}^{2}
tende a 0 quando n\to\infty. O mesmo vale para \displaystyle R_{n}^{(y)}=\sum_{k=n+1}^{\infty} y_{k}^{2}.
Para qualquer m>n temos \sum_{k=n+1}^{m} x_{k}^{2}\le R_{n}^{(x)} e \sum_{k=n+1}^{m} y_{k}^{2}\le R_{n}^{(y)}. Assim, da desigualdade do passo anterior,
Como R_{n}^{(x)}\to 0 e R_{n}^{(y)}\to 0, o produto \sqrt{R_{n}^{(x)}}\sqrt{R_{n}^{(y)}}\to 0 quando n\to\infty. Logo, para dado \varepsilon>0 existe N tal que, para todo m>n\ge N,
Isto mostra que as somas parciais formam uma sequência de Cauchy, portanto convergem.
Passo 6
Conclusão da primeira parte. Como a sequência das somas parciais \left(S_{N}\right) é de Cauchy, ela converge. Portanto, sob a hipótese de que \sum x_{n}^{2} e \sum y_{n}^{2} convergem, a série \sum x_{n}y_{n} também converge. Intuitivamente: os termos x_{n} e y_{n} estão “pequenos o suficiente em quadrado” para que os produtos somados tenham caudas que tendem a zero.
Passo 7
Segunda pergunta: a convergência de \sum x_{n} e \sum y_{n} garante a convergência de \sum x_{n}y_{n}? A resposta é não. Vou dar um contraexemplo explícito e explicar por que funciona.
Primeiro vemos que \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} converge: trata-se de uma série alternada com termos em módulo a_{n}=1/\sqrt{n} que são monotonicamente decrescentes e tendem a 0. Pelo critério de Leibniz (teste da série alternada), a série \sum (-1)^{n}a_{n} converge. Mesma argumentação vale para \sum y_{n}, pois y_{n}=x_{n}. Então ambas as séries \sum x_{n} e \sum y_{n} convergem (condicionalmente, não absolutamente).
que é a série harmônica e é bem conhecido que diverge (por exemplo pelo teste da integral: \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\infty, ou por comparação direta). Assim temos um exemplo concreto onde \sum x_{n} e \sum y_{n} convergem, mas \sum x_{n}y_{n} diverge.
Resposta
Sim. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}y_{n} converge quando \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{2} e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} y_{n}^{2} convergem.
Não. Nem sempre: por exemplo, com x_{n}=y_{n}=(-1)^{n}/\sqrt{n} temos \sum x_{n} e \sum y_{n} convergentes, mas \sum x_{n}y_{n}=\sum 1/n diverge.