Questão B. (2-vetores em
)
Se
e
e
então podemos escrever um vetor
de
como:
Dados
vetores em
podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
Onde
e
são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica
. Calcule
onde:
Mostre também que valem as seguintes propriedades:
Se
Mostre também que valem as seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado dá a base canônica
,
,
e dois vetores genéricos em
:
Pede-se duas coisas:
- Calcular
na forma da combinação linear das base -vetores , , . - Mostrar que valem
.
Listei acima todas as informações relevantes (componentes de
e
) e o que é pedido. A partir daqui vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Antes de calcular, vamos lembrar o que significa o coeficiente de cada base
-vetor: para dois vetores em
a definição dada usa determinantes
. Para duas colunas
o determinante é
Esse número representa a área orientada do paralelogramo gerado pelos vetores
e
no plano; na nossa definição de
cada coeficiente é exatamente um desses determinantes aplicados às componentes apropriadas de
e
.
Passo 3
Agora calculamos cada determinante que aparece na definição:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Substituindo esses coeficientes na expressão da definição obtém-se a forma final de
.]
Passo 4
Escrevendo
com os coeficientes calculados:
Essa é a resposta geral para
. Observação útil (rápida justificativa): cada termo é um determinante
formado por duas colunas retiradas das componentes de
e
.
Passo 5
Agora mostramos que
.
Exemplo para
: como
, aplicar a definição dá os determinantes
Portanto a combinação linear resulta no vetor nulo:
O mesmo cálculo para
e
dá determinantes nulos (colunas repetidas ou colunas nulas), logo
Comentário extra (intuição): mais geralmente, se dois vetores são iguais, cada determinante na definição é do tipo
, portanto
para qualquer
.]