Questão B. (2-vetores em \mathbb{R}^{3} )
Se \vec{i}=(1,0,0) e \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1) então podemos escrever um vetor \vec{u}=(a, b, c) de \mathbb{R}^{3} como:
\vec{u}=a \vec{\imath}+b \vec{\jmath}+c \vec{k}
Dados \vec{v}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{w}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3} podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
\vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{k}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}, \vec{\imath} \wedge \vec{k} e \vec{\jmath} \wedge \vec{k} são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}. Calcule \vec{v} \wedge \vec{w} onde:
Mostre também que valem as seguintes propriedades: \vec{\imath} \wedge \vec{\imath}=\vec{\jmath} \wedge \vec{\jmath}=\vec{k} \wedge \vec{k}=0

Passo 1

O enunciado dá a base canônica \vec{\imath}=(1,0,0), \vec{\jmath}=(0,1,0), \vec{k}=(0,0,1) e dois vetores genéricos em \mathbb{R}^3:
\vec{v}=a_{1}\vec{\imath}+a_{2}\vec{\jmath}+a_{3}\vec{k}, \qquad \vec{w}=b_{1}\vec{\imath}+b_{2}\vec{\jmath}+b_{3}\vec{k}.
Pede-se duas coisas:
  • Calcular \vec{v}\wedge\vec{w} na forma da combinação linear das base 2-vetores \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}, \vec{\imath}\wedge\vec{k}, \vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  • Mostrar que valem \vec{\imath}\wedge\vec{\imath}=\vec{\jmath}\wedge\vec{\jmath}=\vec{k}\wedge\vec{k}=0.
Listei acima todas as informações relevantes (componentes de \vec{v} e \vec{w}) e o que é pedido. A partir daqui vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar o que significa o coeficiente de cada base 2-vetor: para dois vetores em \mathbb{R}^3 a definição dada usa determinantes 2\times2. Para duas colunas \begin{pmatrix}x & y\\\ u & v\end{pmatrix} o determinante é
\det\begin{pmatrix}x & y\\\ u & v\end{pmatrix}=xv-yu.
Esse número representa a área orientada do paralelogramo gerado pelos vetores (x,u) e (y,v) no plano; na nossa definição de \vec{v}\wedge\vec{w} cada coeficiente é exatamente um desses determinantes aplicados às componentes apropriadas de \vec{v} e \vec{w}.

Passo 3

Agora calculamos cada determinante que aparece na definição:
Coeficiente de \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}:
\det\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2}\\[4pt] b_{1} & b_{2}\end{pmatrix} = a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.
Coeficiente de \vec{\imath}\wedge\vec{k}:
\det\begin{pmatrix}a_{1} & a_{3}\\[4pt] b_{1} & b_{3}\end{pmatrix} = a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}.
Coeficiente de \vec{\jmath}\wedge\vec{k}:
\det\begin{pmatrix}a_{2} & a_{3}\\[4pt] b_{2} & b_{3}\end{pmatrix} = a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}.
Substituindo esses coeficientes na expressão da definição obtém-se a forma final de \vec{v}\wedge\vec{w}.]

Passo 4

Escrevendo \vec{v}\wedge\vec{w} com os coeficientes calculados:
\vec{v}\wedge\vec{w}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge\vec{k}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\,\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Essa é a resposta geral para \vec{v}\wedge\vec{w}. Observação útil (rápida justificativa): cada termo é um determinante 2\times2 formado por duas colunas retiradas das componentes de \vec{v} e \vec{w}.

Passo 5

Agora mostramos que \vec{\imath}\wedge\vec{\imath}=\vec{\jmath}\wedge\vec{\jmath}=\vec{k}\wedge\vec{k}=0.
Exemplo para \vec{\imath}: como \vec{\imath}=(1,0,0), aplicar a definição dá os determinantes
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-0\cdot1=0, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=0, \qquad \det\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=0.
Portanto a combinação linear resulta no vetor nulo:
\vec{\imath}\wedge\vec{\imath}=0.
O mesmo cálculo para \vec{\jmath}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1) dá determinantes nulos (colunas repetidas ou colunas nulas), logo
\vec{\jmath}\wedge\vec{\jmath}=0, \qquad \vec{k}\wedge\vec{k}=0.
Comentário extra (intuição): mais geralmente, se dois vetores são iguais, cada determinante na definição é do tipo \det\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] x & y\end{pmatrix}=xy-yx=0, portanto \vec{v}\wedge\vec{v}=0 para qualquer \vec{v}.]

Resposta

\displaystyle \vec{v}\wedge\vec{w}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge\vec{k}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\,\vec{\jmath}\wedge\vec{k}
\vec{\imath}\wedge\vec{\imath}=\vec{\jmath}\wedge\vec{\jmath}=\vec{k}\wedge\vec{k}=0

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