Questão B. (2-vetores em \mathbb{R}^{3} )
Se \vec{i}=(1,0,0) e \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1) então podemos escrever um vetor \vec{u}=(a, b, c) de \mathbb{R}^{3} como:
\vec{u}=a \vec{\imath}+b \vec{\jmath}+c \vec{k}
Dados \vec{v}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{w}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3} podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
\vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{k}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}, \vec{\imath} \wedge \vec{k} e \vec{\jmath} \wedge \vec{k} são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}. Calcule \vec{v} \wedge \vec{w} onde:
\vec{v}=\vec{\imath}+\vec{\jmath} e \vec{w}=\vec{\jmath}+\vec{k}

Passo 1

O enunciado dá a definição do 2-vetor (paralelogramo de área orientada)
\vec{v}\wedge\vec{w}=\det\!\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\[2pt] b_{1}&b_{2}\end{pmatrix}\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} +\det\!\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}\\[2pt] b_{1}&b_{3}\end{pmatrix}\,\vec{\imath}\wedge\vec{k} +\det\!\begin{pmatrix}a_{2}&a_{3}\\[2pt] b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}\,\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Os vetores dados são
\vec{v}=\vec{\imath}+\vec{\jmath},\qquad \vec{w}=\vec{\jmath}+\vec{k}.
O pedido é calcular explicitamente \vec{v}\wedge\vec{w}. Vou listar os dados numéricos que vou usar (estes números vêm dos vetores acima):
a_{1},a_{2},a_{3}\\ \text{(coeficientes de }\vec{v}),\qquad b_{1},b_{2},b_{3}\\ \text{(coeficientes de }\vec{w}).]

Passo 2

Explicando a fórmula e a operação que usamos (passo-a-passo didático):
  • A notação \det\!\begin{pmatrix}x&y\\[2pt] z&w\end{pmatrix} significa o determinante da matriz 2\times2 cujos elementos estão nas posições mostradas; a fórmula prática é
\det\!\begin{pmatrix}x&y\\[2pt] z&w\end{pmatrix}=xw-yz.
  • Geometricamente esse determinante é a área orientada do paralelogramo formado pelos vetores (x,z) e (y,w) no plano; aqui cada determinante dá a área orientada da projeção do paralelogramo gerado por \vec{v} e \vec{w} no respectivo plano coordenado.
  • Na fórmula do enunciado, o primeiro determinante multiplica \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} (projeção no plano xy), o segundo multiplica \vec{\imath}\wedge\vec{k} (projeção no plano xz) e o terceiro multiplica \vec{\jmath}\wedge\vec{k} (projeção no plano yz).]

Passo 3

Encontrar os coeficientes a_i e b_i dos vetores dados (isto é só ler os vetores):
\vec{v}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}\quad\Rightarrow\quad a_{1}=1,\;a_{2}=1,\;a_{3}=0.
\vec{w}=\vec{\jmath}+\vec{k}\quad\Rightarrow\quad b_{1}=0,\;b_{2}=1,\;b_{3}=1.

Passo 4

Calcular o coeficiente de \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}:
\det\!\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\[2pt] b_{1}&b_{2}\end{pmatrix} =\det\!\begin{pmatrix}1&1\\[2pt] 0&1\end{pmatrix} =1\cdot1-1\cdot0=1.]

Passo 5

Calcular o coeficiente de \vec{\imath}\wedge\vec{k}:
\det\!\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}\\[2pt] b_{1}&b_{3}\end{pmatrix} =\det\!\begin{pmatrix}1&0\\[2pt] 0&1\end{pmatrix} =1\cdot1-0\cdot0=1.]

Passo 6

Calcular o coeficiente de \vec{\jmath}\wedge\vec{k}:
\det\!\begin{pmatrix}a_{2}&a_{3}\\[2pt] b_{2}&b_{3}\end{pmatrix} =\det\!\begin{pmatrix}1&0\\[2pt] 1&1\end{pmatrix} =1\cdot1-0\cdot1=1.]

Passo 7

Juntando os três coeficientes obtidos, escreve-se o 2-vetor completo:
\vec{v}\wedge\vec{w} =1\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}+1\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{k}+1\cdot\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Comentário rápido para memória de prova: cada determinante foi a área orientada da projeção no plano correspondente; aqui todas deram 1, então o resultado é a soma das três bases 2-vetoriais com coeficiente 1 cada.

Resposta

\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}+\vec{\imath}\wedge\vec{k}+\vec{\jmath}\wedge\vec{k}

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