Questão B. (2-vetores em
)
Se
e
e
então podemos escrever um vetor
de
como:
Dados
vetores em
podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
Onde
e
são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica
. Calcule
onde:
e
Se
Passo 1
O enunciado dá a definição do 2-vetor (paralelogramo de área orientada)
Os vetores dados são
O pedido é calcular explicitamente
. Vou listar os dados numéricos que vou usar (estes números vêm dos vetores acima):
Passo 2
Explicando a fórmula e a operação que usamos (passo-a-passo didático):
- A notação
significa o determinante da matriz cujos elementos estão nas posições mostradas; a fórmula prática é
- Geometricamente esse determinante é a área orientada do paralelogramo formado pelos vetores
e no plano; aqui cada determinante dá a área orientada da projeção do paralelogramo gerado por e no respectivo plano coordenado. - Na fórmula do enunciado, o primeiro determinante multiplica
(projeção no plano ), o segundo multiplica (projeção no plano ) e o terceiro multiplica (projeção no plano ).]
Passo 3
Encontrar os coeficientes
e
dos vetores dados (isto é só ler os vetores):
Passo 4
Calcular o coeficiente de
:
Passo 5
Calcular o coeficiente de
:
Passo 6
Calcular o coeficiente de
:
Passo 7
Juntando os três coeficientes obtidos, escreve-se o 2-vetor completo:
Comentário rápido para memória de prova: cada determinante foi a área orientada da projeção no plano correspondente; aqui todas deram
, então o resultado é a soma das três bases
-vetoriais com coeficiente
cada.