Questão B. (2-vetores em
)
Se
e
e
então podemos escrever um vetor
de
como:
Dados
vetores em
podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
Onde
e
são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica
. Calcule
onde:
Mostre também que valem as seguintes propriedades:
Conclua a partir do item j) que
representa a área do paralelogramo gerado pelos vetores
, assim como em
.
Se
Mostre também que valem as seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores em
e define o 2-vetor (bivetor)
pela soma dos determinantes de pares de componentes, cada um multiplicado por uma base de bivetores:
O que se pede:
- Calcular explicitamente
em função de . - Mostrar a identidade
- Concluir que
é a área do paralelogramo gerado por e .]
Passo 2
Calcular termo a termo os determinantes que aparecem na definição (é só aplicar a fórmula do determinante
):
Substituindo esses resultados na expressão dada, obtemos a forma explícita de
:
Passo 3
Precisamos definir o que é
. A base
pode ser tomada ortonormal (cada um representa um paralelogramo de área
com orientação adequada), portanto a norma ao quadrado do bivetor é a soma dos quadrados das suas componentes nesta base. Assim, escrevendo
onde
temos por definição
Passo 4
Agora calculamos o lado direito pedido e mostramos que coincide com a soma acima. Primeiro escrevemos as quantidades usuais:
Formamos então
Passo 5
Expandimos cuidadosamente os dois termos. O produto das normas dá
O quadrado do produto escalar dá
Subtraindo termo a termo, muitos termos
se cancelam, e ficamos com
Agrupando adequadamente cada par de termos, observe que por exemplo
e análogas igualdades valem para os outros pares:
Somando essas três igualdades obtemos exatamente
Isso conclui a prova da identidade algebricamente.
Passo 6
Interpretação geométrica (didática e curta): escrevendo
onde
é o ângulo entre
e
, a identidade fica
Tomando raiz positiva,
Mas
é exatamente a área do paralelogramo gerado por
e
. Portanto
mede essa área, justamente como ocorre em
.