Questão B. (2-vetores em \mathbb{R}^{3} )
Se \vec{i}=(1,0,0) e \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1) então podemos escrever um vetor \vec{u}=(a, b, c) de \mathbb{R}^{3} como:
\vec{u}=a \vec{\imath}+b \vec{\jmath}+c \vec{k}
Dados \vec{v}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{w}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3} podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
\vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{k}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}, \vec{\imath} \wedge \vec{k} e \vec{\jmath} \wedge \vec{k} são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}. Calcule \vec{v} \wedge \vec{w} onde:
Mostre também que valem as seguintes propriedades: \|\vec{v} \wedge \vec{w}\|^{2}=\|\vec{v}\|^{2}\|\vec{w}\|^{2}-\langle\vec{v}, \vec{w}\rangle
Conclua a partir do item j) que \|\vec{v} \wedge \vec{w}\| representa a área do paralelogramo gerado pelos vetores \vec{v}, \vec{w}, assim como em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^{3}
\vec{v}=(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}\vec{\imath}+a_{2}\vec{\jmath}+a_{3}\vec{k}, \qquad \vec{w}=(b_{1},b_{2},b_{3})=b_{1}\vec{\imath}+b_{2}\vec{\jmath}+b_{3}\vec{k},
e define o 2-vetor (bivetor) \vec{v}\wedge\vec{w} pela soma dos determinantes de pares de componentes, cada um multiplicado por uma base de bivetores:
\vec{v}\wedge\vec{w} =\det\!\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\[4pt] b_{1}&b_{2}\end{pmatrix}\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} +\det\!\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}\\[4pt] b_{1}&b_{3}\end{pmatrix}\vec{\imath}\wedge\vec{k} +\det\!\begin{pmatrix}a_{2}&a_{3}\\[4pt] b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
O que se pede:
  • Calcular explicitamente \vec{v}\wedge\vec{w} em função de a_i,b_i.
  • Mostrar a identidade
\|\vec{v}\wedge\vec{w}\|^{2}=\|\vec{v}\|^{2}\|\vec{w}\|^{2}-\langle\vec{v},\vec{w}\rangle^{2}.
  • Concluir que \|\vec{v}\wedge\vec{w}\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{v} e \vec{w}.]

Passo 2

Calcular termo a termo os determinantes que aparecem na definição (é só aplicar a fórmula do determinante 2\times2):
\det\!\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\[4pt] b_{1}&b_{2}\end{pmatrix} =a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1},
\det\!\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}\\[4pt] b_{1}&b_{3}\end{pmatrix} =a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1},
\det\!\begin{pmatrix}a_{2}&a_{3}\\[4pt] b_{2}&b_{3}\end{pmatrix} =a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}.
Substituindo esses resultados na expressão dada, obtemos a forma explícita de \vec{v}\wedge\vec{w}:
\vec{v}\wedge\vec{w} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} +(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge\vec{k} +(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\,\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.]

Passo 3

Precisamos definir o que é \|\vec{v}\wedge\vec{w}\|. A base \{\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath},\;\vec{\imath}\wedge\vec{k},\;\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\} pode ser tomada ortonormal (cada um representa um paralelogramo de área 1 com orientação adequada), portanto a norma ao quadrado do bivetor é a soma dos quadrados das suas componentes nesta base. Assim, escrevendo
\vec{v}\wedge\vec{w} = C_{12}\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} + C_{13}\,\vec{\imath}\wedge\vec{k} + C_{23}\,\vec{\jmath}\wedge\vec{k},
onde
C_{12}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1},\quad C_{13}=a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1},\quad C_{23}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},
temos por definição
\|\vec{v}\wedge\vec{w}\|^{2} = C_{12}^{2}+C_{13}^{2}+C_{23}^{2}.

Passo 4

Agora calculamos o lado direito pedido e mostramos que coincide com a soma acima. Primeiro escrevemos as quantidades usuais:
\|\vec{v}\|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}, \qquad \|\vec{w}\|^{2}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2},
\langle\vec{v},\vec{w}\rangle=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Formamos então
\|\vec{v}\|^{2}\|\vec{w}\|^{2}-\langle\vec{v},\vec{w}\rangle^{2} =(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}) -(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}.

Passo 5

Expandimos cuidadosamente os dois termos. O produto das normas dá
(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}) = \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{i}^{2}b_{j}^{2} = a_{1}^{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}^{2}+a_{1}^{2}b_{3}^{2} + a_{2}^{2}b_{1}^{2}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}+a_{2}^{2}b_{3}^{2} + a_{3}^{2}b_{1}^{2}+a_{3}^{2}b_{2}^{2}+a_{3}^{2}b_{3}^{2}.
O quadrado do produto escalar dá
(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2} = a_{1}^{2}b_{1}^{2}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}+a_{3}^{2}b_{3}^{2} +2(a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+a_{1}a_{3}b_{1}b_{3}+a_{2}a_{3}b_{2}b_{3}).
Subtraindo termo a termo, muitos termos a_{i}^{2}b_{i}^{2} se cancelam, e ficamos com
\begin{aligned} &\quad\;\|\vec{v}\|^{2}\|\vec{w}\|^{2}-\langle\vec{v},\vec{w}\rangle^{2} \\\ &= \big(a_{1}^{2}b_{2}^{2}+a_{1}^{2}b_{3}^{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}+a_{2}^{2}b_{3}^{2}+a_{3}^{2}b_{1}^{2}+a_{3}^{2}b_{2}^{2}\big) -2\big(a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+a_{1}a_{3}b_{1}b_{3}+a_{2}a_{3}b_{2}b_{3}\big). \end{aligned}
Agrupando adequadamente cada par de termos, observe que por exemplo
(a_{1}^{2}b_{2}^{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}=C_{12}^{2},
e análogas igualdades valem para os outros pares:
(a_{1}^{2}b_{3}^{2}+a_{3}^{2}b_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}b_{1}b_{3})=(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})^{2}=C_{13}^{2},
(a_{2}^{2}b_{3}^{2}+a_{3}^{2}b_{2}^{2}-2a_{2}a_{3}b_{2}b_{3})=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}=C_{23}^{2}.
Somando essas três igualdades obtemos exatamente
\|\vec{v}\|^{2}\|\vec{w}\|^{2}-\langle\vec{v},\vec{w}\rangle^{2} = C_{12}^{2}+C_{13}^{2}+C_{23}^{2} = \|\vec{v}\wedge\vec{w}\|^{2}.
Isso conclui a prova da identidade algebricamente.

Passo 6

Interpretação geométrica (didática e curta): escrevendo \langle\vec{v},\vec{w}\rangle=\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|\cos\theta onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{w}, a identidade fica
\|\vec{v}\wedge\vec{w}\|^{2}=\|\vec{v}\|^{2}\|\vec{w}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\|\vec{w}\|^{2}\cos^{2}\theta =\big(\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|\sin\theta\big)^{2}.
Tomando raiz positiva,
\|\vec{v}\wedge\vec{w}\|=\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|\,|\sin\theta|.
Mas \|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|\,|\sin\theta| é exatamente a área do paralelogramo gerado por \vec{v} e \vec{w}. Portanto \|\vec{v}\wedge\vec{w}\| mede essa área, justamente como ocorre em \mathbb{R}^{2}.

Resposta

\displaystyle \vec{v}\wedge\vec{w}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge\vec{k}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\,\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
\displaystyle \|\vec{v}\wedge\vec{w}\|^{2}=\|\vec{v}\|^{2}\|\vec{w}\|^{2}-\langle\vec{v},\vec{w}\rangle^{2}.
\displaystyle \|\vec{v}\wedge\vec{w}\|=\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|\,|\sin\theta|, isto é, \|\vec{v}\wedge\vec{w}\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{v} e \vec{w}.

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