Questão 8: Em uma Bacia Hidrográfica estão instalados cinco postos pluviométricos cujas áreas de influência estão indicadas na tabela abaixo. Conhecidas as alturas de uma chuva intensa ocorrida em 12/11/1996, pede-se estimar a altura de chuva média e o deflúvio pluvial correspondente.
Posto A B C D E
Área ( \mathbf{k m}^{\mathbf{2}} ) 327 250 108 469 349
Altura de Chuva (mm) 83 117 58 149 72

Passo 1

O enunciado fornece os valores de área de influência de cada posto e as alturas de chuva medidas em cada um. Pede-se: (1) estimar a altura de chuva média sobre a bacia e (2) obter o deflúvio pluvial correspondente (ou seja, o volume de água correspondente a essa chuva sobre a bacia). Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Postos e suas áreas e alturas:
\begin{array}{c|c|c} \text{Posto} & \text{Área (km}^2\text{)} & \text{Altura de chuva (mm)}\\hline A & 327 & 83\\\ B & 250 & 117\\\ C & 108 & 58\\\ D & 469 & 149\\\ E & 349 & 72 \end{array}Á
O que se pede explicitamente:
  • Estimar a altura média de chuva sobre toda a bacia.
  • Calcular o deflúvio pluvial correspondente (volume de água sobre a bacia resultante dessa altura média).

Passo 2

Como interpretar a média pedida (mini-aula): quando cada posto representa uma área diferente, a média que interessa é a média ponderada pelas áreas de influência. A fórmula da média ponderada é:
\bar{h}=\frac{\sum_{i} A_i\,h_i}{\sum_{i} A_i},
onde:
  • A_i é a área de influência do posto i (em \text{km}^2),
  • h_i é a altura de chuva no posto i (em \text{mm}),
  • \bar{h} é a altura média ponderada sobre a bacia (em \text{mm}).
Raciocínio: multiplicamos cada chuva pela área que ela representa (produto A_i h_i), somamos esses produtos e dividimos pela área total. Faz sentido físico: postos com áreas maiores têm mais influência na média.

Passo 3

Calcular a área total da bacia ( A_T=\sum_i A_i). Faço a soma passo a passo (peguei os valores da tabela):
A_T = 327 + 250 + 108 + 469 + 349.
Agora calculando:
327 + 250 = 577,
577 + 108 = 685,
685 + 469 = 1154,
1154 + 349 = 1503.
Portanto:
A_T = 1503\\ \text{km}^2.

Passo 4

Calcular cada produto A_i h_i (área \times altura) — mostro cada conta e a unidade (km ^2 \cdotmm):
\begin{aligned} A_A h_A &= 327 \times 83 = 27\,141,\\\ A_B h_B &= 250 \times 117 = 29\,250,\\\ A_C h_C &= 108 \times 58 = 6\,264,\\\ A_D h_D &= 469 \times 149 = 69\,881,\\\ A_E h_E &= 349 \times 72 = 25\,128. \end{aligned}
Todos esses valores estão em \text{km}^2\cdot\text{mm}.

Passo 5

Somar os produtos para obter o numerador da média ponderada:
\sum_i A_i h_i = 27\,141 + 29\,250 + 6\,264 + 69\,881 + 25\,128.
Somando:
27\,141 + 29\,250 = 56\,391,
56\,391 + 6\,264 = 62\,655,
62\,655 + 69\,881 = 132\,536,
132\,536 + 25\,128 = 157\,664.
Então:
\sum_i A_i h_i = 157\,664\\ \text{(km}^2\cdot\text{mm)}.

Passo 6

Calcular a altura média usando a fórmula da média ponderada:
\bar{h}=\frac{\sum_i A_i h_i}{A_T}=\frac{157\,664}{1503}.
Faço a divisão:
\bar{h}\approx 104{,}899\\ \text{mm}.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar uma casa decimal:
\bar{h}\approx 104{,}9\\ \text{mm}.
Comentário amigo: esse é o valor de chuva médio sobre toda a bacia considerando as áreas dadas. Respira — já resolvemos a primeira parte!

Passo 7

Agora o deflúvio pluvial correspondente: aqui vamos calcular o volume de água que essa chuva média representa sobre toda a bacia. Mini-aula de unidades (muito importante):
  • 1\\ \text{mm}=10^{-3}\\ \text{m}.
  • 1\\ \text{km}^2=10^{6}\\ \text{m}^2.
  • Logo, 1\\ \text{mm} sobre 1\\ \text{km}^2 corresponde a
10^{-3}\\ \text{m}\times 10^{6}\\ \text{m}^2 = 10^{3}\\ \text{m}^3.
Portanto, fórmula conveniente para o volume V em \text{m}^3 é:
V = \bar{h}\\ (\text{mm}) \times A_T\\ (\text{km}^2) \times 1000.
Explicação: multiplicamos a altura média em mm pela área em km ^2 e pelo fator 1000 para passar para \text{m}^3.

Passo 8

Aplicando a fórmula com os valores que já calculamos:
V = 104{,}899\\ \text{mm} \times 1503\\ \text{km}^2 \times 1000.
Calculando:
V \approx 157\,663\,197\\ \text{m}^3.
Em notação científica (mais compacta):
V \approx 1{,}5766\times 10^{8}\\ \text{m}^3.
Interpretação amiga: esse é o volume total de chuva que caiu sobre a bacia correspondente à altura média calculada. Se a questão pedisse o volume de escoamento (runoff), seria preciso multiplicar por um coeficiente de runoff (menor que 1) que depende de solo, cobertura e intensidade; como nenhum coeficiente foi dado, aqui apresentamos o volume de precipitação correspondente.

Resposta

\bar{h}\approx 104{,}9\\ \text{mm}
V\approx 1{,}5766\times 10^{8}\\ \text{m}^3

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