Seja z=f(x, y) definida implicitamente pela equação 2 x z^{3}-3 y z^{2}+x^{2} y^{2}+4 z=0. Obtenha a equação do plano tangente e da reta normal à superfície z=f(x, y) no ponto (-1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita da superfície z=f(x,y) e pede duas coisas no ponto (-1,1,1):
  • A equação do plano tangente à superfície em (-1,1,1).
  • A equação da reta normal à superfície em (-1,1,1).
Informações fornecidas:
2 x z^{3}-3 y z^{2}+x^{2} y^{2}+4 z=0
e o ponto (-1,1,1) que pertence à superfície.

Passo 2

Estratégia e ideia principal (explicação didática e curta):
Definimos a função
F(x,y,z)=2 x z^{3}-3 y z^{2}+x^{2} y^{2}+4 z.
A superfície é o nível F(x,y,z)=0. Uma propriedade fundamental é que o vetor gradiente
\nabla F(x,y,z) = \left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\; \dfrac{\partial F}{\partial y},\; \dfrac{\partial F}{\partial z}\right)
é um vetor normal ao nível F=0 em qualquer ponto. Logo, para obter o plano tangente em (x_0,y_0,z_0) podemos usar a equação do plano com normal \nabla F(x_0,y_0,z_0):
\dfrac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\,(x-x_0) +\dfrac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\,(y-y_0) +\dfrac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\,(z-z_0)=0.
A reta normal tem a direção dada por esse mesmo vetor normal e passa pelo ponto dado; sua forma paramétrica é
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\,\nabla F(x_0,y_0,z_0).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de F. Lembrando que, ao derivar parcialmente, tratamos as outras variáveis como constantes.
Termos de F:
  • 2 x z^{3}: derivando em relação a x 2 z^{3}; em relação a y é 0; em relação a z 6 x z^{2} (regra da potência).
  • -3 y z^{2}: derivando em relação a x 0; em relação a y -3 z^{2}; em relação a z -6 y z.
  • x^{2} y^{2}: derivando em relação a x 2 x y^{2}; em relação a y 2 x^{2} y; em relação a z 0.
  • 4 z: derivando em relação a x e y 0; em relação a z 4.
Portanto as parciais são:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=2 z^{3}+2 x y^{2},
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)=-3 z^{2}+2 x^{2} y,
\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=6 x z^{2}-6 y z+4.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais em (x_0,y_0,z_0)=(-1,1,1).
Calcule cada uma com passos explícitos:
Para \dfrac{\partial F}{\partial x}:
\frac{\partial F}{\partial x}(-1,1,1)=2\cdot 1^{3}+2\cdot(-1)\cdot 1^{2}=2-2=0.
Para \dfrac{\partial F}{\partial y}:
\frac{\partial F}{\partial y}(-1,1,1)=-3\cdot 1^{2}+2\cdot(-1)^{2}\cdot 1=-3+2=-1.
Para \dfrac{\partial F}{\partial z}:
\frac{\partial F}{\partial z}(-1,1,1)=6\cdot(-1)\cdot 1^{2}-6\cdot 1\cdot 1+4=-6-6+4=-8.

Passo 5

Obter o vetor normal no ponto: juntando as componentes avaliadas temos
\nabla F(-1,1,1)=(0,\,-1,\,-8).
Esse vetor é normal à superfície em (-1,1,1). (Se preferir outro sinal, (0,1,8) também é normal; o sentido não afeta o plano.)

Passo 6

Equação do plano tangente usando a fórmula com o vetor normal:
0\cdot(x+1)+(-1)\cdot(y-1)+(-8)\cdot(z-1)=0.
Simplificando:
-(y-1)-8(z-1)=0.
Multiplicando por -1 ou rearranjando, obtemos formas equivalentes:
y-1+8(z-1)=0,
8z+y-9=0.
Também podemos isolar z:
z=\dfrac{9-y}{8}=\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{8}y.
Observação didática curta: como \dfrac{\partial F}{\partial x}(-1,1,1)=0, o plano não envolve explicitamente x (coeficiente de x é zero), ou seja, o plano é paralelo à direção do eixo x no ponto.

Passo 7

Equação da reta normal: direção \nabla F(-1,1,1)=(0,-1,-8) e passando por (-1,1,1). Forma paramétrica:
\begin{cases} x(t)=-1+0\cdot t=-1,\\[4pt] y(t)=1-1\cdot t=1-t,\\[4pt] z(t)=1-8\cdot t=1-8t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Forma vetorial compacta:
(x,y,z)=(-1,1,1)+t\,(0,-1,-8).]

Passo 8

Checagem rápida (para segurança): colocar (-1,1,1) na equação do plano 8z+y-9=0 8\cdot1+1-9=0, ok. A direção (0,-1,-8) é normal ao plano porque é exatamente o gradiente usado.

Resposta

8z+y-9=0
x=-1,\;y=1-t,\;z=1-8t

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