Seja z=f(x, y) definida implicitamente pela equação 2 x z^{3}-3 y z^{2}+x^{2} y^{2}+4 z=0. Obtenha a equação do plano tangente e da reta normal à superfície z=f(x, y) no ponto (-1,1,1).
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita da superfície z=f(x,y) e pede duas coisas no ponto (-1,1,1):
A equação do plano tangente à superfície em (-1,1,1).
A equação da reta normal à superfície em (-1,1,1).
Informações fornecidas:
2 x z^{3}-3 y z^{2}+x^{2} y^{2}+4 z=0
e o ponto (-1,1,1) que pertence à superfície.
Passo 2
Estratégia e ideia principal (explicação didática e curta):
Definimos a função
F(x,y,z)=2 x z^{3}-3 y z^{2}+x^{2} y^{2}+4 z.
A superfície é o nível F(x,y,z)=0. Uma propriedade fundamental é que o vetor gradiente
é um vetor normal ao nível F=0 em qualquer ponto. Logo, para obter o plano tangente em (x_0,y_0,z_0) podemos usar a equação do plano com normal \nabla F(x_0,y_0,z_0):
Obter o vetor normal no ponto: juntando as componentes avaliadas temos
\nabla F(-1,1,1)=(0,\,-1,\,-8).
Esse vetor é normal à superfície em (-1,1,1). (Se preferir outro sinal, (0,1,8) também é normal; o sentido não afeta o plano.)
Passo 6
Equação do plano tangente usando a fórmula com o vetor normal:
0\cdot(x+1)+(-1)\cdot(y-1)+(-8)\cdot(z-1)=0.
Simplificando:
-(y-1)-8(z-1)=0.
Multiplicando por -1 ou rearranjando, obtemos formas equivalentes:
y-1+8(z-1)=0,
8z+y-9=0.
Também podemos isolar z:
z=\dfrac{9-y}{8}=\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{8}y.
Observação didática curta: como \dfrac{\partial F}{\partial x}(-1,1,1)=0, o plano não envolve explicitamente x (coeficiente de x é zero), ou seja, o plano é paralelo à direção do eixo x no ponto.
Passo 7
Equação da reta normal: direção \nabla F(-1,1,1)=(0,-1,-8) e passando por (-1,1,1). Forma paramétrica:
Checagem rápida (para segurança): colocar (-1,1,1) na equação do plano 8z+y-9=0 dá 8\cdot1+1-9=0, ok. A direção (0,-1,-8) é normal ao plano porque é exatamente o gradiente usado.