Inscreva em um círculo de raio R , o triângulo de área máxima. Qual é a medida do lado desse triângulo?
Passo 1
O enunciado pede: inscrever em um círculo de raio
, um triângulo que tenha área máxima. Quero saber qual é a medida do lado desse triângulo.
Informações dadas: o círculo tem raio e o triângulo deve ser inscrito nele (ou seja, todos os vértices do triângulo estão sobre a circunferência).
O que se pede: a medida do lado do triângulo inscrito de área máxima, expressa em função de .
Informações dadas: o círculo tem raio
O que se pede: a medida do lado do triângulo inscrito de área máxima, expressa em função de
Passo 2
Vamos relacionar o comprimento de um lado do triângulo inscrito com os ângulos do triângulo e com o raio
. Suponha que os ângulos do triângulo sejam
,
e
(em radianos) e que o lado oposto a
seja
. Há uma relação clássica entre o lado e o raio circunscrito (raio da circunferência que passa pelos vértices):
Explicação curta de onde vem: o lado
é uma corda da circunferência; se você desenhar o triângulo formado pelo centro do círculo e os extremos da corda, obtém um triângulo isósceles cujo ângulo no centro vale
. Aplicando trigonometria num triângulo retângulo formado por dividir esse isósceles ao meio, chega-se a
. (Tudo em função de
e do ângulo oposto.)
Passo 3
Agora escrevemos a área
de um triângulo em termos dos lados ou dos ângulos. Uma fórmula útil é
Usando a relação dos lados com o raio, temos
e
. Substituindo em
:
Portanto maximizar a área do triângulo inscrito é equivalente a maximizar o produto
sob a restrição
e com
.
Passo 4
Para maximizar
com a restrição
, é conveniente trabalhar com o logaritmo (transforma produto em soma) e usar multiplicadores de Lagrange — é um método razoável e direto. Definimos
Queremos maximizar
sujeito a
. Montamos a função de Lagrange
As condições de extremo interior (derivadas parciais nulas) dão, para
,
De maneira análoga obtemos
e
. Assim
o que implica (dentro do intervalo
) que
Com a soma dos ângulos valendo
, concluímos
Assim o produto
(e, portanto, a área) é máximo quando o triângulo é equilátero.
Comentário intuitivo: por simetria e pela forma do problema (produto de funções iguais sujeitas a soma fixa), espera-se que o máximo ocorra quando os ângulos são iguais; o cálculo com Lagrange confirma isso rigorosamente.
Passo 5
Agora que sabemos que o triângulo de área máxima é equilátero, calculemos o comprimento do lado. Tomando
, a relação lado–raio dá
Sabemos que
. Substituindo:
Passo 6
Para fixar a intuição, um pequeno extra: o triângulo equilátero inscrito tem três lados iguais a
. A sua área máxima é também fácil de obter, se quiseres lembrar na prova:
Mas a pergunta pedia apenas o comprimento do lado, que já encontramos.