Inscreva em um círculo de raio R , o triângulo de área máxima. Qual é a medida do lado desse triângulo?

Passo 1

O enunciado pede: inscrever em um círculo de raio \,R, um triângulo que tenha área máxima. Quero saber qual é a medida do lado desse triângulo.
Informações dadas: o círculo tem raio \,R e o triângulo deve ser inscrito nele (ou seja, todos os vértices do triângulo estão sobre a circunferência).
O que se pede: a medida do lado do triângulo inscrito de área máxima, expressa em função de \,R.

Passo 2

Vamos relacionar o comprimento de um lado do triângulo inscrito com os ângulos do triângulo e com o raio \,R. Suponha que os ângulos do triângulo sejam \,A, \,B e \,C (em radianos) e que o lado oposto a \,A seja \,a. Há uma relação clássica entre o lado e o raio circunscrito (raio da circunferência que passa pelos vértices):
a = 2R\sin A.
Explicação curta de onde vem: o lado a é uma corda da circunferência; se você desenhar o triângulo formado pelo centro do círculo e os extremos da corda, obtém um triângulo isósceles cujo ângulo no centro vale 2A. Aplicando trigonometria num triângulo retângulo formado por dividir esse isósceles ao meio, chega-se a \,a=2R\sin A. (Tudo em função de \,R e do ângulo oposto.)

Passo 3

Agora escrevemos a área S de um triângulo em termos dos lados ou dos ângulos. Uma fórmula útil é
S=\frac{1}{2}ab\sin C.
Usando a relação dos lados com o raio, temos a=2R\sin A e b=2R\sin B. Substituindo em S:
S=\frac{1}{2}\,(2R\sin A)\,(2R\sin B)\,\sin C = 2R^{2}\,\sin A\,\sin B\,\sin C.
Portanto maximizar a área do triângulo inscrito é equivalente a maximizar o produto
\sin A\;\sin B\;\sin C,
sob a restrição
A+B+C=\pi
e com A,B,C>0.

Passo 4

Para maximizar f(A,B,C)=\sin A\sin B\sin C com a restrição A+B+C=\pi, é conveniente trabalhar com o logaritmo (transforma produto em soma) e usar multiplicadores de Lagrange — é um método razoável e direto. Definimos
g(A,B,C)=\ln(\sin A)+\ln(\sin B)+\ln(\sin C).
Queremos maximizar g sujeito a A+B+C=\pi. Montamos a função de Lagrange
\mathcal{L}(A,B,C,\lambda)=\ln(\sin A)+\ln(\sin B)+\ln(\sin C)+\lambda(A+B+C-\pi).
As condições de extremo interior (derivadas parciais nulas) dão, para A,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A}=\cot A + \lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad \cot A = -\lambda.
De maneira análoga obtemos \cot B=-\lambda e \cot C=-\lambda. Assim
\cot A = \cot B = \cot C,
o que implica (dentro do intervalo (0,\pi)) que
A=B=C.
Com a soma dos ângulos valendo \pi, concluímos
A=B=C=\frac{\pi}{3}.
Assim o produto \sin A\sin B\sin C (e, portanto, a área) é máximo quando o triângulo é equilátero.
Comentário intuitivo: por simetria e pela forma do problema (produto de funções iguais sujeitas a soma fixa), espera-se que o máximo ocorra quando os ângulos são iguais; o cálculo com Lagrange confirma isso rigorosamente.

Passo 5

Agora que sabemos que o triângulo de área máxima é equilátero, calculemos o comprimento do lado. Tomando A=\pi/3, a relação lado–raio dá
a = 2R\sin\left(\frac{\pi}{3}\right).
Sabemos que \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}. Substituindo:
a = 2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}.

Passo 6

Para fixar a intuição, um pequeno extra: o triângulo equilátero inscrito tem três lados iguais a \,R\sqrt{3}. A sua área máxima é também fácil de obter, se quiseres lembrar na prova:
S_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,(R\sqrt{3})^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\,R^{2}.
Mas a pergunta pedia apenas o comprimento do lado, que já encontramos.

Resposta

\,a = R\sqrt{3}

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