Questão 7. Um balão de ar está a uma altura de 81 metros e está subindo com velocidade de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um corpo cai em queda livre.
a) Encontre a função posição do corpo para um observador no chão. Qual o instante de tempo que o corpo atinge o chão?
b) Encontre a função posição do corpo para um observador no balão. Qual o instante de tempo que o corpo atinge o chão?

Passo 1

O enunciado diz que um balão parte de uma altura de 81 m e sobe com velocidade constante de 12, \mathrm{m}/\mathrm{s}. No instante t=0 um corpo é largado em queda livre (aceleração igual a g). Precisamos:
a) achar a função posição do corpo para um observador no chão e o instante em que ele atinge o solo;
b) achar a função posição desse corpo para um observador no balão e o instante em que ele atinge o solo visto daí.

Passo 2

Para o observador no chão usamos o movimento uniformemente variado com aceleração para baixo g=9{,}8, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2. A equação da posição é
y(t)=y_0+v_0\,t-\tfrac12\,g\,t^2
onde y_0=81,m e v_0=0. Logo
y(t)=81-4{,}9\,t^2.

Passo 3

O corpo atinge o solo quando y(t)=0. Então
81-4{,}9\,t^2=0 \quad\Longrightarrow\quad t^2=\frac{81}{4{,}9} \quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{\frac{81}{4{,}9}}\approx4{,}06\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Para o observador no balão, primeiro escrevemos a posição do balão no chão:
y_{\rm balão}(t)=81+12\,t.ã
A posição do corpo medida a partir do balão é
s(t)=y_{\rm corpo}(t)-y_{\rm balão}(t) =(81-4{,}9\,t^2)-(81+12\,t) =-4{,}9\,t^2-12\,t.ã

Passo 5

O instante em que o corpo atinge o solo é o mesmo evento de y_{\rm corpo}(t)=0, portanto continua
t=\sqrt{\frac{81}{4{,}9}}\approx4{,}06\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) Para o observador no chão: \displaystyle y(t)=81-4{,}9\,t^2, e o corpo atinge o solo em \displaystyle t\approx4{,}06\\ \mathrm{s}.
b) Para o observador no balão: \displaystyle s(t)=-4{,}9\,t^2-12\,t, e o corpo atinge o solo em \displaystyle t\approx4{,}06\\ \mathrm{s}.

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