Questão 6. Uma partícula inicialmente em repouso a 20 metros do observador, move-se segundo a lei
a(t)=\frac{3}{2} t-\frac{4}{3} t^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \quad t \geq 0
a) Encontre a função velocidade da partícula.
b) Encontre a função horária da posição da partícula.
c) Encontre o máximo da função velocidade. Isto ocorre em qual instante de tempo?
d) Encontre o máximo da função posição. Isto ocorre em qual instante de tempo?

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula
a(t)=\frac{3}{2}t-\frac{4}{3}t^{2},\quad t\ge0
com condições iniciais v(0)=0 e x(0)=20,m.
O conteúdo é cinemática com aceleração variável, e vamos usar integração para obter v(t) e x(t), depois achar máximos por derivadas.

Passo 2

Para obter a velocidade integramos a aceleração:
v(t)=\int a(t)\,\mathrm dt=\int\Bigl(\frac{3}{2}t-\frac{4}{3}t^{2}\Bigr)\mathrm dt =\frac{3}{4}t^{2}-\frac{4}{9}t^{3}+C.
Como v(0)=0, temos C=0. Logo
v(t)=\frac{3}{4}t^{2}-\frac{4}{9}t^{3}.

Passo 3

Para achar a posição integramos v(t):
x(t)=\int v(t)\,\mathrm dt =\int\Bigl(\frac{3}{4}t^{2}-\frac{4}{9}t^{3}\Bigr)\mathrm dt =\frac{1}{4}t^{3}-\frac{1}{9}t^{4}+C'.
Como x(0)=20, segue C'=20. Então
x(t)=20+\frac{1}{4}t^{3}-\frac{1}{9}t^{4}.

Passo 4

O máximo de v(t) ocorre onde v'(t)=a(t)=0:
\frac{3}{2}t-\frac{4}{3}t^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad t\bigl(\tfrac{3}{2}-\tfrac{4}{3}t\bigr)=0 \;\Rightarrow\;t=0\text{ ou }t=\frac{9}{8}.
Em t=0 é mínimo inicial, então o máximo não trivial é em
t=\frac{9}{8}\,\mathrm s,
com valor
v\bigl(\tfrac{9}{8}\bigr) =\frac{3}{4}\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^{2} -\frac{4}{9}\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^{3} =\frac{81}{256}\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

O máximo de x(t) acontece quando x'(t)=v(t)=0, que dá as mesmas raízes t=0 e t=9/8. Novamente t=9/8 é o extremo relevante, e
x\bigl(\tfrac{9}{8}\bigr) =20+\frac{1}{4}\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^{3} -\frac{1}{9}\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^{4} =20+\frac{729}{4096} \approx20,1785\\ \mathrm m.

Resposta

a) \displaystyle v(t)=\frac{3}{4}t^{2}-\frac{4}{9}t^{3}.
b) \displaystyle x(t)=20+\frac{1}{4}t^{3}-\frac{1}{9}t^{4}.
c) O máximo de v é \displaystyle v_{\max}=\frac{81}{256}\,\mathrm{m/s}, em t=\frac{9}{8}\,\mathrm s.
d) O máximo de x é \displaystyle x_{\max}=20+\frac{729}{4096}\approx20,1785\,\mathrm m, em t=\frac{9}{8}\,\mathrm s.

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