Questão 8. Considere os seguintes vetores
e
,
a) Calcule
.
b) Calcule
e
.
b) Calcule
.
c) Calcule o menor ângulo
entre
e
.
d) Encontre os vetores normalizados
e
.
e) Calcule a direção/sentido (isto é, o ângulo
com a horizontal) de
e de
.
f) Aplique a matriz de rotação por um ângulo
, encontrado em (c), em
e verifique que o resultado é o vetor
.
b) Calcule
b) Calcule
c) Calcule o menor ângulo
d) Encontre os vetores normalizados
e) Calcule a direção/sentido (isto é, o ângulo
f) Aplique a matriz de rotação por um ângulo
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no plano:
e
.
Pede:
Pede:
- soma de vetores;
- magnitudes;
- produto escalar;
- menor ângulo entre eles;
- vetores normalizados;
- direções (ângulo com a horizontal);
- aplicar matriz de rotação para levar
em .
O conteúdo é álgebra vetorial em: soma, norma, produto escalar, arctan2, normalização e matriz de rotação.
Passo 2
Para a soma
somamos componente a componente:
Passo 3
A magnitude de um vetor
é
.
Logo,
Logo,
Passo 4
O produto escalar em
é
.
Aqui,
Aqui,
Passo 5
O menor ângulo
entre dois vetores satisfaz
Então
Passo 6
Para normalizar um vetor
, dividimos cada componente por
. Assim,
Passo 7
O ângulo
que um vetor
faz com o eixo
usa a função
:
Passo 8
A matriz de rotação de ângulo
em
é
Já temos
. O sinal de
é obtido pelo componente “cruzado” em 2D:
Então
verificando que a rotação leva
em
.]
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) A aplicação de com
em
produz
.
b)
c)
d)
e)
f)
g) A aplicação de