Questão 8. Considere os seguintes vetores \vec{A} e \vec{B},
\vec{A}=2 \hat{i}-3 \hat{j}, \quad \vec{B}=-3 \hat{i}+2 \hat{j}
a) Calcule \vec{A}+\vec{B}.
b) Calcule |\vec{A}| e |\vec{B}|.
b) Calcule \vec{A} \cdot \vec{B}.
c) Calcule o menor ângulo \theta entre \vec{A} e \vec{B}.
d) Encontre os vetores normalizados \hat{A} e \hat{B}.
e) Calcule a direção/sentido (isto é, o ângulo \alpha com a horizontal) de \vec{A} e de \vec{B}.
f) Aplique a matriz de rotação por um ângulo \theta, encontrado em (c), em \vec{A} e verifique que o resultado é o vetor \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano: \displaystyle \vec{A}=2\,\hat{i}-3\,\hat{j} e \displaystyle \vec{B}=-3\,\hat{i}+2\,\hat{j}.
Pede:
  • soma de vetores;
  • magnitudes;
  • produto escalar;
  • menor ângulo entre eles;
  • vetores normalizados;
  • direções (ângulo com a horizontal);
  • aplicar matriz de rotação para levar \vec{A} em \vec{B}.
    O conteúdo é álgebra vetorial em \mathbb{R}^2: soma, norma, produto escalar, arctan2, normalização e matriz de rotação.

Passo 2

Para a soma \vec{A}+\vec{B} somamos componente a componente:
\vec{A}+\vec{B} = (2 + (-3))\,\hat{i} + ((-3)+2)\,\hat{j} = -1\,\hat{i} -1\,\hat{j}.

Passo 3

A magnitude de um vetor \vec{V}=(V_x,V_y) é \sqrt{V_x^2+V_y^2}.
Logo,
|\vec{A}| = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}, \quad |\vec{B}| = \sqrt{(-3)^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}.

Passo 4

O produto escalar em \mathbb{R}^2 é \vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y.
Aqui,
\vec{A}\cdot\vec{B} = 2\cdot(-3) + (-3)\cdot2 = -6 -6 = -12.

Passo 5

O menor ângulo \theta entre dois vetores satisfaz
\cos\theta = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{-12}{\sqrt{13}\,\sqrt{13}} = -\frac{12}{13}.
Então
\theta = \operatorname{arccos}\Bigl(-\tfrac{12}{13}\Bigr)\approx 157{,}38^\circ.

Passo 6

Para normalizar um vetor \vec{V}, dividimos cada componente por |\vec{V}|. Assim,
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{1}{\sqrt{13}}\bigl(2\,\hat{i}-3\,\hat{j}\bigr), \quad \hat{B} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|} = \frac{1}{\sqrt{13}}\bigl(-3\,\hat{i}+2\,\hat{j}\bigr).

Passo 7

O ângulo \alpha que um vetor (V_x,V_y) faz com o eixo x usa a função \arctan2(V_y,V_x):
\alpha_A = \arctan2(-3,2)\approx -56{,}31^\circ\quad(\text{ou }303{,}69^\circ),
\alpha_B = \arctan2(2,-3)\approx 146{,}31^\circ.

Passo 8

A matriz de rotação de ângulo \theta em \mathbb{R}^2 é
R(\theta) =\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[6pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Já temos \cos\theta=-\tfrac{12}{13}. O sinal de \sin\theta é obtido pelo componente “cruzado” em 2D:
\sin\theta = \frac{A_xB_y - A_yB_x}{|\!A\!|\,|\!B\!|} = \frac{2\cdot2 -(-3)\cdot(-3)}{13} = -\frac{5}{13}.
Então
R(\theta)\,\vec{A} =\begin{pmatrix} -\tfrac{12}{13} & -\bigl(-\tfrac{5}{13}\bigr)\\[4pt] -\tfrac{5}{13} & -\tfrac{12}{13} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\\ 2\end{pmatrix} =\vec{B},
verificando que a rotação leva \vec{A} em \vec{B}.]

Resposta

a) \vec{A}+\vec{B} = -\,\hat{i}-\hat{j}.
b) |\vec{A}|=|\vec{B}|=\sqrt{13}.
c) \displaystyle \vec{A}\cdot\vec{B}=-12.
d) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}(-\tfrac{12}{13})\approx157{,}38^\circ.
e) \displaystyle \hat{A}=\tfrac{1}{\sqrt{13}}(2\,\hat{i}-3\,\hat{j}),\quad \hat{B}=\tfrac{1}{\sqrt{13}}(-3\,\hat{i}+2\,\hat{j}).
f) \displaystyle \alpha_{A}=\arctan2(-3,2)\approx-56{,}31^\circ,\quad \alpha_{B}=\arctan2(2,-3)\approx146{,}31^\circ.
g) A aplicação de \displaystyle R(\theta) com \cos\theta=-\tfrac{12}{13},\;\sin\theta=-\tfrac{5}{13} em \vec{A} produz \vec{B}.

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