Questāo 5

Banco de baterias de uma fábrica fotovoltaica. Uma indústria instala um banco de baterias para armazenar a energia E(t) (em kWh) gerada por painéis solares. Os painéis fornecem uma potência constante de P=50 \mathrm{kWh} / \mathrm{h} ao banco. Ao mesmo tempo, as baterias sofrem autodescarga: perdem energia a uma taxa proporcional à energia armazenada, com constante de proporcionalidade k=0,02 \mathrm{~h}^{-1}. No instante inicial, o banco armazena E_{0}=200 \mathrm{kWh}.
a) Usando o balanço \frac{d E}{d t}= (ganho) - (perda), escreva a equação diferencial para E(t) e coloque-a na forma padrão linear.
b) Resolva o Problema de Valor Inicial e obtenha E(t).
c) Determine o nível de energia de equilíbrio E_{\infty}=\lim _{t \rightarrow \infty} E(t) e interprete fisicamente: o que esse valor representa para a operação da fábrica?
d) Calcule o tempo necessário para que o banco atinja E=1500 \mathrm{kWh}. Expresse o resultado exato em termos de logaritmo natural e forneça uma estimativa em horas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Potência constante fornecida pelos painéis: P=50\\ \mathrm{kWh/h}.
  • Constante de autodescarga (proporcional à energia armazenada): k=0{,}02\\ \mathrm{h^{-1}}.
  • Energia inicial armazenada no instante t=0: E(0)=E_{0}=200\\ \mathrm{kWh}.
O que o exercício pede:
a) Usar o balanço \dfrac{dE}{dt}= (ganho) - (perda) para escrever a equação diferencial e colocá-la na forma padrão linear.
b) Resolver o problema de valor inicial e obter E(t).
c) Determinar o nível de equilíbrio E_{\infty}=\lim_{t\to\infty}E(t) e interpretar fisicamente.
d) Calcular o tempo necessário para que E(t)=1500\\ \mathrm{kWh}. Dar a expressão exata em logaritmo natural e uma estimativa numérica em horas.

Passo 2

Modelagem pelo balanço energia: “ganho” é a potência fornecida pelos painéis (energia por unidade de tempo) e valendo P. “Perda” é a autodescarga, que é proporcional à energia armazenada, ou seja kE(t). Assim a equação diferencial é
\frac{dE}{dt}=P - kE(t).
Esta já expressa o balanço ganho menos perda.

Passo 3

Colocar na forma padrão linear. A forma padrão para uma equação linear de primeira ordem é
\frac{dE}{dt} + p(t)E = q(t).
No nosso caso p(t)=k (constante) e q(t)=P (constante). Portanto a equação na forma padrão é
\frac{dE}{dt} + kE = P.
Isto responde a parte (a).

Passo 4

Método para resolver (explicação didática): integrar usando fator integrante ou reconhecer solução composta (parte homogênea + particular).
  • Parte homogênea: considere a equação sem o termo forçante P:
\frac{dE_h}{dt} + kE_h = 0.
Isto é uma ODE separável. Resolvendo,
\frac{dE_h}{E_h} = -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|E_h| = -kt + C,
logo
E_h(t)=C e^{-kt},
onde C é constante determinada pela condição inicial.
  • Solução particular: como P é constante, procuramos E_p constante. Se E_p é constante, \dfrac{dE_p}{dt}=0, então da equação temos
0 + kE_p = P \quad\Rightarrow\quad E_p = \frac{P}{k}.
Isto tem sentido físico: é o nível de energia onde ganho e perda se equilibram.
  • Solução geral: soma da homogênea com a particular:
E(t)=E_p + E_h(t)=\frac{P}{k} + C e^{-kt}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial E(0)=E_0 para determinar C. Em t=0,
E(0)=\frac{P}{k} + C e^{0} = \frac{P}{k} + C = E_0.
Logo
C = E_0 - \frac{P}{k}.
Substituindo em E(t),
E(t)=\frac{P}{k} + \left(E_0 - \frac{P}{k}\right) e^{-kt}.
Agora substituir os valores numéricos dados ( P=50, k=0{,}02, E_0=200) quando for conveniente. Mas a forma geral acima já é a solução do PVI, respondendo à parte (b).

Passo 6

Encontrar o nível de equilíbrio E_{\infty}=\lim_{t\to\infty}E(t).
Da solução
E(t)=\frac{P}{k} + \left(E_0 - \frac{P}{k}\right) e^{-kt},
o termo exponencial tende a zero quando t\to\infty porque k>0. Então
E_{\infty}=\frac{P}{k}.
Calculando com os números do enunciado:
E_{\infty}=\frac{50}{0{,}02}=50\div 0{,}02=2500\\ \mathrm{kWh}.
Interpretação física (didática e informal): E_{\infty}=2500\\ \mathrm{kWh} é o valor ao qual o banco de baterias tende quando operado indefinidamente com a entrada constante de 50\\ \mathrm{kWh/h} e a perda proporcional com taxa k. Physicamente significa que, no equilíbrio, a energia fornecida pelos painéis por hora ( 50\\ \mathrm{kWh/h}) é exatamente igual à energia perdida por autodescarga por hora ( kE); portanto o banco estabiliza em 2500\\ \mathrm{kWh}. Se estiver abaixo disso, o banco se carrega ao longo do tempo; se estiver acima (hipoteticamente), o banco iria se descarregar até esse valor.

Passo 7

Calcular o tempo t tal que E(t)=1500\\ \mathrm{kWh} (parte d). Usar a solução explicitada:
1500 = \frac{P}{k} + \left(E_0 - \frac{P}{k}\right) e^{-kt}.
Substituir \dfrac{P}{k}=2500 e E_0=200:
1500 = 2500 + (200 - 2500) e^{-0{,}02 t}.
Simplificar:
1500 - 2500 = -1000 = -2300 e^{-0{,}02 t}.
Dividir por -2300:
e^{-0{,}02 t} = \frac{1000}{2300} = \frac{10}{23}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
-0{,}02\,t = \ln\!\left(\frac{10}{23}\right) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{0{,}02}\ln\!\left(\frac{10}{23}\right).
Usar a propriedade -\ln(a)=\ln(1/a):
t = \frac{1}{0{,}02}\ln\!\left(\frac{23}{10}\right).
Como \dfrac{1}{0{,}02}=50, uma forma simples é
t = 50\ln\!\left(\frac{23}{10}\right)\\ \mathrm{h}.
Estimativa numérica: \ln\!\left(\dfrac{23}{10}\right)=\ln(2{,}3)\approx 0{,}8329091229, então
t \approx 50\times 0{,}8329091229 \approx 41{,}65\\ \mathrm{h}.
Interpretação curta: leva cerca de 41{,}7 horas para o banco subir de 200\\ \mathrm{kWh} até 1500\\ \mathrm{kWh} sob o regime dado.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dE}{dt}+kE=P.
(b) \displaystyle E(t)=\frac{P}{k}+\left(E_{0}-\frac{P}{k}\right)e^{-kt}=\; \frac{50}{0{,}02}+\left(200-\frac{50}{0{,}02}\right)e^{-0{,}02t}.
(c) \displaystyle E_{\infty}=\frac{P}{k}= \frac{50}{0{,}02}=2500\\ \mathrm{kWh}.
(d) \displaystyle t= \frac{1}{0{,}02}\ln\!\left(\frac{23}{10}\right)=50\ln\!\left(\frac{23}{10}\right)\\ \mathrm{h}\approx 41{,}65\\ \mathrm{h}.

Exercícios relacionados