Questāo 5
Banco de baterias de uma fábrica fotovoltaica. Uma indústria instala um banco de baterias para armazenar a energia
(em kWh) gerada por painéis solares. Os painéis fornecem uma potência constante de
ao banco. Ao mesmo tempo, as baterias sofrem autodescarga: perdem energia a uma taxa proporcional à energia armazenada, com constante de proporcionalidade
. No instante inicial, o banco armazena
.
a) Usando o balanço
(ganho) - (perda), escreva a equação diferencial para
e coloque-a na forma padrão linear.
b) Resolva o Problema de Valor Inicial e obtenha
.
c) Determine o nível de energia de equilíbrio
e interprete fisicamente: o que esse valor representa para a operação da fábrica?
d) Calcule o tempo necessário para que o banco atinja
. Expresse o resultado exato em termos de logaritmo natural e forneça uma estimativa em horas.
a) Usando o balanço
b) Resolva o Problema de Valor Inicial e obtenha
c) Determine o nível de energia de equilíbrio
d) Calcule o tempo necessário para que o banco atinja
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos estes valores do enunciado):
- Potência constante fornecida pelos painéis:
. - Constante de autodescarga (proporcional à energia armazenada):
. - Energia inicial armazenada no instante
: .
O que o exercício pede:
a) Usar o balanço (ganho) - (perda) para escrever a equação diferencial e colocá-la na forma padrão linear.
b) Resolver o problema de valor inicial e obter .
c) Determinar o nível de equilíbrio e interpretar fisicamente.
d) Calcular o tempo necessário para que . Dar a expressão exata em logaritmo natural e uma estimativa numérica em horas.
a) Usar o balanço
b) Resolver o problema de valor inicial e obter
c) Determinar o nível de equilíbrio
d) Calcular o tempo necessário para que
Passo 2
Modelagem pelo balanço energia: “ganho” é a potência fornecida pelos painéis (energia por unidade de tempo) e valendo
. “Perda” é a autodescarga, que é proporcional à energia armazenada, ou seja
. Assim a equação diferencial é
Esta já expressa o balanço ganho menos perda.
Passo 3
Colocar na forma padrão linear. A forma padrão para uma equação linear de primeira ordem é
No nosso caso
(constante) e
(constante). Portanto a equação na forma padrão é
Isto responde a parte (a).
Passo 4
Método para resolver (explicação didática): integrar usando fator integrante ou reconhecer solução composta (parte homogênea + particular).
- Parte homogênea: considere a equação sem o termo forçante
:
Isto é uma ODE separável. Resolvendo,
logo
onde
é constante determinada pela condição inicial.
- Solução particular: como
é constante, procuramos constante. Se é constante, , então da equação temos
Isto tem sentido físico: é o nível de energia onde ganho e perda se equilibram.
- Solução geral: soma da homogênea com a particular:
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Em
,
Logo
Substituindo em
,
Agora substituir os valores numéricos dados (
,
,
) quando for conveniente. Mas a forma geral acima já é a solução do PVI, respondendo à parte (b).
Passo 6
Encontrar o nível de equilíbrio
.
Da solução
o termo exponencial tende a zero quando
porque
. Então
Calculando com os números do enunciado:
Interpretação física (didática e informal):
é o valor ao qual o banco de baterias tende quando operado indefinidamente com a entrada constante de
e a perda proporcional com taxa
. Physicamente significa que, no equilíbrio, a energia fornecida pelos painéis por hora (
) é exatamente igual à energia perdida por autodescarga por hora (
); portanto o banco estabiliza em
. Se estiver abaixo disso, o banco se carrega ao longo do tempo; se estiver acima (hipoteticamente), o banco iria se descarregar até esse valor.
Passo 7
Calcular o tempo
tal que
(parte d). Usar a solução explicitada:
Substituir
e
:
Simplificar:
Dividir por
:
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Usar a propriedade
:
Como
, uma forma simples é
Estimativa numérica:
, então
Interpretação curta: leva cerca de
horas para o banco subir de
até
sob o regime dado.
Resposta
(a)
.
(b)
(c)
(d)