Questão 4

Resolva o Problema de Valor Inicial:
\frac{d y}{d x}-y=e^{x} y^{2}, \quad y(0)=\frac{1}{2}

Passo 1

O problema pede resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial ordinária e a condição inicial. Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é \dfrac{d y}{d x}-y=e^{x} y^{2}.
  • A condição inicial é y(0)=\dfrac{1}{2}.
  • O objetivo é encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação para x num intervalo que contenha 0 e que satisfaça a condição inicial.

Passo 2

Vamos escolher um método adequado e explicar como ele funciona (passo-a-passo, sem pular etapas).
Observação rápida (sem resolver ainda): a equação tem termos em y e em y^{2}, o que a torna uma equação diferencial de primeira ordem não linear do tipo que costuma ser tratada pela transformação de Bernoulli. A ideia geral do método de Bernoulli é transformar a equação não linear em uma equação linear através da substituição
u = y^{\,1-n},
quando a equação está na forma
\frac{dy}{dx} + p(x) y = q(x) y^{n}.
Aqui p(x) e q(x) são funções conhecidas de x e n é um número (no nosso caso n=2). A razão é que essa substituição transforma a não linearidade em um fator que desaparece, produzindo uma equação linear em u, que podemos resolver por fator integrante.
Vou aplicar esse raciocínio explicitamente ao nosso caso.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão e identificar p(x), q(x), n.
A equação dada é
\frac{d y}{d x}-y=e^{x} y^{2}.
Reescrevendo no formato \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^{n} fica
\frac{dy}{dx}+(-1)\,y = e^{x} y^{2},
logo p(x)=-1, q(x)=e^{x} e n=2.
Pelo método de Bernoulli, tomamos a substituição
v=\frac{1}{y}=y^{-1}.
Agora calculemos a derivada de v em função de y e de \dfrac{dy}{dx}. Por regra da derivada de potência:
\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(y^{-1}\bigr)=-1\cdot y^{-2}\cdot\frac{dy}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Expressar \dfrac{dv}{dx} usando a equação original para eliminar \dfrac{dy}{dx}.
Da equação original temos
\frac{dy}{dx}=y+e^{x}y^{2}.
Multiplicando ambos os lados por -y^{-2} (para usar a expressão de \dfrac{dv}{dx}) obtemos
-y^{-2}\frac{dy}{dx} = -y^{-1} - e^{x}.
Pela definição anterior, o lado esquerdo é \dfrac{dv}{dx}. Então chegamos à equação linear para v:
\frac{dv}{dx} = -v - e^{x}.
Reescrevendo de forma padrão:
\frac{dv}{dx} + v = -e^{x}.

Passo 5

Resolver a equação linear para v por fator integrante.
Para a equação linear
\frac{dv}{dx} + v = -e^{x},
o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{x}\frac{dv}{dx} + e^{x}v = -e^{2x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}v, ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}v\bigr) = -e^{2x}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}v = \int -e^{2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
v = C e^{-x} - \frac{1}{2}e^{x}.

Passo 6

Voltar à variável original y usando v=\dfrac{1}{y} e aplicar a condição inicial para determinar C.
Temos
\frac{1}{y} = v = C e^{-x} - \frac{1}{2}e^{x}.
Então
y(x)=\frac{1}{C e^{-x} - \dfrac{1}{2}e^{x}}.
Use a condição inicial y(0)=\dfrac{1}{2}. Em x=0 obtemos
\frac{1}{y(0)} = v(0) = C - \frac{1}{2}.
Como y(0)=\dfrac{1}{2}, temos \dfrac{1}{y(0)}=2. Assim
2 = C - \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad C = \frac{5}{2}.
Substituindo C=\dfrac{5}{2} em y(x):
y(x)=\frac{1}{\dfrac{5}{2}e^{-x} - \dfrac{1}{2}e^{x}}.

Passo 7

Simplificar a expressão da solução e comentar o domínio.
Simplificando a fração: fatorando \dfrac{1}{2}e^{-x} no denominador,
\dfrac{5}{2}e^{-x} - \dfrac{1}{2}e^{x} = \frac{1}{2}e^{-x}\bigl(5 - e^{2x}\bigr).
Portanto
y(x)=\frac{1}{\dfrac{1}{2}e^{-x}\bigl(5 - e^{2x}\bigr)} = \frac{2e^{x}}{5 - e^{2x}}.
A solução obtida é
y(x)=\frac{2e^{x}}{5 - e^{2x}}.
Quanto ao domínio: a solução é válida enquanto o denominador for diferente de zero, isto é para e^{2x}\neq 5, ou equivalentemente x\neq \dfrac{1}{2}\ln 5. Como 0 não é esse ponto, a condição inicial está num ponto onde a solução é válida. Em geral a solução está definida nos intervalos que não contenham x=\dfrac{1}{2}\ln 5.

Resposta

y(x)=\dfrac{2e^{x}}{5-e^{2x}}

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