Questão 4
Resolva o Problema de Valor Inicial:
Passo 1
O problema pede resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial ordinária e a condição inicial. Informações fornecidas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - O objetivo é encontrar uma função
que satisfaça a equação para num intervalo que contenha e que satisfaça a condição inicial.
Passo 2
Vamos escolher um método adequado e explicar como ele funciona (passo-a-passo, sem pular etapas).
Observação rápida (sem resolver ainda): a equação tem termos em
e em
, o que a torna uma equação diferencial de primeira ordem não linear do tipo que costuma ser tratada pela transformação de Bernoulli. A ideia geral do método de Bernoulli é transformar a equação não linear em uma equação linear através da substituição
quando a equação está na forma
Aqui
e
são funções conhecidas de
e
é um número (no nosso caso
). A razão é que essa substituição transforma a não linearidade em um fator que desaparece, produzindo uma equação linear em
, que podemos resolver por fator integrante.
Vou aplicar esse raciocínio explicitamente ao nosso caso.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão e identificar
,
,
.
A equação dada é
Reescrevendo no formato
fica
logo
,
e
.
Pelo método de Bernoulli, tomamos a substituição
Agora calculemos a derivada de
em função de
e de
. Por regra da derivada de potência:
Passo 4
Expressar
usando a equação original para eliminar
.
Da equação original temos
Multiplicando ambos os lados por
(para usar a expressão de
) obtemos
Pela definição anterior, o lado esquerdo é
. Então chegamos à equação linear para
:
Reescrevendo de forma padrão:
Passo 5
Resolver a equação linear para
por fator integrante.
Para a equação linear
o fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, ou seja
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Portanto
Passo 6
Voltar à variável original
usando
e aplicar a condição inicial para determinar
.
Temos
Então
Use a condição inicial
. Em
obtemos
Como
, temos
. Assim
Substituindo
em
:
Passo 7
Simplificar a expressão da solução e comentar o domínio.
Simplificando a fração: fatorando
no denominador,
Portanto
A solução obtida é
Quanto ao domínio: a solução é válida enquanto o denominador for diferente de zero, isto é para
, ou equivalentemente
. Como
não é esse ponto, a condição inicial está num ponto onde a solução é válida. Em geral a solução está definida nos intervalos que não contenham
.