Questão 1 - Com base nesse contexto
O gás ideal de
moles possui o seu volume inicial
e temperatura inicial
. O sistema passa primeiro por um processo isotérmico onde seu volume aumenta para
. O sistema continua a expandir adiabaticamente para
. Depois, o sistema foi comprimido para
por um processo isobárico. E finalmente, o sistema passa de novo por um processo adiabático e diminuiu seu volume até a sua temperatura voltou a ser
.
(1) Encontre o valor
para o processo
(2) Encontre o valor
para o ciclo.
(3) Encontre a diferenca de entropia entre estado 2 e 4 .
(4) Encontre o valor
para uma reta que liga os dois estados 2 e 4.
(1) Encontre o valor
(2) Encontre o valor
(3) Encontre a diferenca de entropia entre estado 2 e 4 .
(4) Encontre o valor
Passo 1
Vou escrever com calma o que o enunciado dá e o que pede, peça por peça, para não nos perdermos no meio do caminho.
- Estado 1: Volume inicial
e temperatura inicial . O número de mols do gás é . - Processo
: isotérmico (temperatura constante) com . - Processo
: adiabático (sem troca de calor) com (ou seja ). - Processo
: isobárico (pressão constante) com (ou seja ). - Processo
final: adiabático que comprime até a temperatura voltar a ser . - Perguntas:
(1) Calcularpara o processo .
(2) Calcularpara o ciclo (isto é, o integral cíclico ao longo de todos os processos).
(3) Calcular a diferença de entropia entre os estados 2 e 4, isto é.
(4) Calcularao longo de uma reta que liga os estados 2 e 4.
Observação: todos os dados numéricos de volumes foram extraídos do enunciado (usei
).
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (explicação didática rápida antes de usar):
- Entropia
é uma função de estado: para qualquer transformação reversível entre dois estados, . Isso significa que o integral entre dois estados depende só dos estados finais e iniciais se a integral for tomada por um caminho reversível. - Para um gás ideal mono ou politópico, usamos
. - Processo isotérmico reversível para gás ideal: o calor trocado é igual ao trabalho e vale
Como a temperatura é constante, pode sair do integral. - Constante adiabática (processo adiabático reversível) para gás ideal:
, onde . - Para um gás ideal, variação de entropia entre dois estados qualquer pode ser escrita como
que é muito útil quando conhecemos e dos estados.
Vou usar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
No processo
a transformação é isotérmica e reversível a temperatura
.
Para isotérmico, o calor absorvido reversivelmente é
Dividindo por
(que é constante e igual a
):
Usando
,
Explicação curta: esse integral é justamente a variação de entropia do gás no processo isotérmico; abrir o ln(2) é só repetir que o gás ganhou entropia porque expandiu reversivelmente.
Passo 4
Aqui precisamos ser cuidadosos: a propriedade-chave é a desigualdade de Clausius. Para um ciclo fechado e para processos reversíveis temos
Se o ciclo for irreversível, a desigualdade de Clausius diz
.
O enunciado descreve processos típicos (isotérmico, adiabático, isobárico, adiabático) sem indicar irreversibilidades; a interpretação usual é que são processos reversíveis (quasi-estáticos). Portanto, assumindo reversibilidade ao longo de todo o ciclo, vale
Comentário incentivador: isso decorre do fato de que, num ciclo reversível, a entropia do sistema retorna ao valor inicial (é função de estado), logo variação total é zero.
Passo 5
Vamos encontrar as temperaturas nos estados 2, 3 e 4 em termos de
para depois aplicar a fórmula da entropia.
-
Estado 2: foi obtido por isotérmico a
. Logo , . -
Processo
é adiabático reversível: .
AssimComo(ou e ), temos -
Processo
é isobárico (pressão constante). Para pressão constante, pela equação de estado , a temperatura varia proporcionalmente ao volume: Comsegue
Resumo das temperaturas:
Passo 6
Usamos a fórmula geral para gás ideal entre dois estados qualquer:
Substituímos os valores já conhecidos:
-
. -
- E lembramos que
Calcule passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando,
Reorganizando os dois últimos logs:
Portanto
Somando os coeficientes:
Assim
Como
, podemos escrever de forma mais direta:
Interpretação simples: a entropia do estado 4 é menor que a do estado 2 (o sinal negativo indica isso) e a expressão ficou bonita e independente de
ou
.
Passo 7
Aqui é importante o seguinte ensinamento prático: se a reta que liga 2 e 4 for percorrida de forma reversível (isto é, um caminho quasistático, mesmo que a relação entre
e
seja uma linha reta no diagrama), então
porque a integral reversível de
entre dois estados dá a variação de entropia, que depende apenas dos estados e não do caminho. Portanto, se a reta entre 2 e 4 for percorrida reversivelmente, o integral pedido vale exatamente o resultado do Passo 6.
Assim:
Se a reta fosse um processo irreversível, o integral
ao longo desse processo poderia ser diferente; mas o enunciado geralmente pede o integral reversível ou assume trajetórias quasistáticas. Portanto a resposta prática é igual à diferença de entropia.