Questão 5

(3.0) Um bloco de massa m=10,0 kg oscila na extremidade de uma mola (Figura acima), cuja constate elástica é k=2 times 10^4 N / m. O movimento é amortecido devido ao efeito da resistência do ar que, pode ser representado pelo coeficiente de amortecimento b=3,0 N s / m. Considere que a amplitude inicial igual a 10 m
  • (1.0) Calcule a frequência e o período de oscilação;
  • (1.0) Qual o valor da amplitude após completar o primeiro ciclo?
  • (1.0) Após quanto tempo a energia mecânica do sistema cai pela metade?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos:
Um bloco de massa m=10 kg preso a uma mola de constante k=2×10⁴ N/m, sofrendo amortecimento do ar com b=3,0 N·s/m. A amplitude inicial é A₀=10 m.
Conteúdo: oscilador harmônico amortecido.
O que vamos precisar:
  • A frequência e período do movimento amortecido;
  • A lei de decaimento da amplitude A(t)=A₀ e^(−γt), onde γ=b/(2m);
  • A relação entre energia e amplitude (E∝A²) para achar quando E cai à metade.

Passo 2

Calcular frequência e período.
  1. Primeiro a frequência natural (sem amortecimento): omega0 = raizkm = raiz2times10^410 = raiz2000approx44,72;rad/s
    2) Constante de amortecimento:
    gamma = b2m = 3,02cdot10 = 0,15;s^-1
  2. Frequência angular amortecida: omegad = raizomega0^2 - gamma^2 = raiz(44,72)^2 - (0,15)^2 approx44,72;rad/s
  3. Frequência (Hz) e período (s): f = omegad2piapprox44,722piapprox7,11;Hz, T = 2piomegadapprox2pi44,72approx0,141;s

Passo 3

Amplitude depois de um ciclo (t=T). A lei é
A(t)=A0,e^-gamma t
Logo, em t=T:
$$A_1 = 10,e^{-0{,}15\cdot0{,}141}
      =10\,e^{-0{,}02115}
      \approx10\times0{,}9791
      \approx9{,}79\;\text{m}.$$

Passo 4

Tempo para energia cair pela metade. Como energia em MHS ∝A², queremos
E(t)E0 = A(t)^2A0^2 = 12 ;Longrightarrow; (e^-gamma t)^2 = 12 ;Longrightarrow; e^-2gamma t = 12
Tomando ln:
-2gamma t = ln12 = -ln2 ;Longrightarrow; t = ln22gamma = 0,69312cdot0,15 approx2,31;s

Resposta

Frequência f≈7,11 Hz, período T≈0,141 s;
Amplitude após um ciclo A₁≈9,79 m;
Tempo para energia cair à metade t≈2,31 s.

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