Questão 5
(3.0) Um bloco de massa
oscila na extremidade de uma mola (Figura acima), cuja constate elástica é
. O movimento é amortecido devido ao efeito da resistência do ar que, pode ser representado pelo coeficiente de amortecimento
. Considere que a amplitude inicial igual a 10 m
- (1.0) Calcule a frequência e o período de oscilação;
- (1.0) Qual o valor da amplitude após completar o primeiro ciclo?
- (1.0) Após quanto tempo a energia mecânica do sistema cai pela metade?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos:
Um bloco de massa m=10 kg preso a uma mola de constante k=2×10⁴ N/m, sofrendo amortecimento do ar com b=3,0 N·s/m. A amplitude inicial é A₀=10 m.
Conteúdo: oscilador harmônico amortecido.
O que vamos precisar:
Um bloco de massa m=10 kg preso a uma mola de constante k=2×10⁴ N/m, sofrendo amortecimento do ar com b=3,0 N·s/m. A amplitude inicial é A₀=10 m.
Conteúdo: oscilador harmônico amortecido.
O que vamos precisar:
- A frequência e período do movimento amortecido;
- A lei de decaimento da amplitude A(t)=A₀ e^(−γt), onde γ=b/(2m);
- A relação entre energia e amplitude (E∝A²) para achar quando E cai à metade.
Passo 2
Calcular frequência e período.
- Primeiro a frequência natural (sem amortecimento):
2) Constante de amortecimento:
- Frequência angular amortecida:
- Frequência (Hz) e período (s):
Passo 3
Amplitude depois de um ciclo (t=T). A lei é
Logo, em t=T:
$$A_1 = 10,e^{-0{,}15\cdot0{,}141}
=10\,e^{-0{,}02115}
\approx10\times0{,}9791
\approx9{,}79\;\text{m}.$$
Passo 4
Tempo para energia cair pela metade. Como energia em MHS ∝A², queremos
Tomando ln:
Resposta
Frequência f≈7,11 Hz, período T≈0,141 s;
Amplitude após um ciclo A₁≈9,79 m;
Tempo para energia cair à metade t≈2,31 s.
Amplitude após um ciclo A₁≈9,79 m;
Tempo para energia cair à metade t≈2,31 s.