Questão 1)
Solução:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está escrita em termos de
. - Aparecem os fatores
e multiplicando . - Ao manipular a equação vamos dividir por
e por , portanto é necessário lembrar que (pois dividimos por ) e considerar que não pode ser identicamente zero (verificação abaixo). - O objetivo é obter a família de soluções gerais com uma constante de integração.
Passo 2
Primero reorganizar a equação para separar os diferenciais (separação de variáveis).
Começo dividindo ambos os lados por (válido para
):
Começo dividindo ambos os lados por
Agora multiplico ambos os lados por
e divido por
(isso exige que não estejamos considerando a solução identicamente
; vamos checar essa possibilidade):
Checagem rápida: se
então o lado esquerdo seria
enquanto o direito é
para
, contradição; portanto não existe solução constante
na região
. Logo dividir por
é consistente ao buscar soluções não nulas.
Passo 3
Preparar as integrais a serem calculadas.
Escrevo o lado direito de forma mais confortável:
Escrevo o lado direito de forma mais confortável:
Portanto a equação para integrar fica
Passo 4
Calcular as integrais explicitamente, passo a passo.
- Integral esquerda:
onde
é uma constante de integração (vou reunir as constantes depois).
- Integral direita: reescrevo
e integro termo a termo:
Calculo cada uma:
Somando e incluindo a constante de integração
:
Igualando as duas integrais (absorvendo as constantes em uma só
):
onde
é a constante de integração geral.
Passo 5
Isolar
multiplicando ambos os lados por
:
Observação sobre a constante:
é mais uma constante arbitrária; podemos renomeá-la como
(ou
) sem perda de generalidade. Assim é comum escrever
onde agora
representa uma constante arbitrária reescalada.
Passo 6
Passar para a forma explícita em
(quando desejado) e discutir domínio:
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados obtemos a solução explícita
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados obtemos a solução explícita
onde
é constante arbitrária. Lembrar:
- O domínio natural da solução é
(por causa da divisão por que apareceu ao integrar). - A raiz cúbica está bem definida para qualquer número real (não precisamos restringir o sinal).
- Como mencionado, não há solução constante
em .