Questão 1)
\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{y}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{y}^{\prime}=\mathbf{1}+\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}
\begin{aligned} & x^{2} y^{2} \frac{d y}{d x}=1+x^{2} \\\ & y^{2} \frac{d y}{d x}=\frac{1+x^{2}}{x^{2}} \\\ & y^{2} d y=\frac{1+x^{2}}{x^{2}} d x \\\ & \int y^{2} d y=\int \frac{1}{x^{2}}+1 d x \\\ & \frac{y^{3}}{3}=-\frac{1}{x}+x+C \end{aligned}
Solução: y^{3}=-\frac{3}{x}+3 x+3 C

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y^{2}y' = 1 + x^{2}
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita em termos de y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Aparecem os fatores x^{2} e y^{2} multiplicando y'.
  • Ao manipular a equação vamos dividir por x^{2} e por y^{2}, portanto é necessário lembrar que x\neq 0 (pois dividimos por x^{2}) e considerar que y não pode ser identicamente zero (verificação abaixo).
  • O objetivo é obter a família de soluções gerais com uma constante de integração.

Passo 2

Primero reorganizar a equação para separar os diferenciais (separação de variáveis).
Começo dividindo ambos os lados por x^{2} (válido para x\neq 0):
y^{2}\frac{dy}{dx}=\frac{1+x^{2}}{x^{2}}.
Agora multiplico ambos os lados por dx e divido por y^{2} (isso exige que não estejamos considerando a solução identicamente y\equiv 0; vamos checar essa possibilidade):
y^{2}\,dy=\frac{1+x^{2}}{x^{2}}\,dx.
Checagem rápida: se y\equiv 0 então o lado esquerdo seria 0 enquanto o direito é \dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}>0 para x\neq 0, contradição; portanto não existe solução constante y\equiv 0 na região x\neq 0. Logo dividir por y^{2} é consistente ao buscar soluções não nulas.

Passo 3

Preparar as integrais a serem calculadas.
Escrevo o lado direito de forma mais confortável:
\frac{1+x^{2}}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}+1.
Portanto a equação para integrar fica
\int y^{2}\,dy=\int\!\left(\frac{1}{x^{2}}+1\right)\,dx.

Passo 4

Calcular as integrais explicitamente, passo a passo.
  • Integral esquerda:
\int y^{2}\,dy=\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}+C_{L},
onde C_{L} é uma constante de integração (vou reunir as constantes depois).
  • Integral direita: reescrevo \dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2} e integro termo a termo:
\int\!\left(\frac{1}{x^{2}}+1\right)\,dx=\int x^{-2}\,dx+\int 1\,dx.
Calculo cada uma:
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}, \qquad \int 1\,dx=x.
Somando e incluindo a constante de integração C_{R}:
\int\!\left(\frac{1}{x^{2}}+1\right)\,dx=-\frac{1}{x}+x+C_{R}.
Igualando as duas integrais (absorvendo as constantes em uma só C):
\frac{y^{3}}{3}=-\frac{1}{x}+x+C,
onde C é a constante de integração geral.

Passo 5

Isolar y^{3} multiplicando ambos os lados por 3:
y^{3}=-\frac{3}{x}+3x+3C.
Observação sobre a constante: 3C é mais uma constante arbitrária; podemos renomeá-la como C (ou C_{1}) sem perda de generalidade. Assim é comum escrever
y^{3}=-\frac{3}{x}+3x+C,
onde agora C representa uma constante arbitrária reescalada.

Passo 6

Passar para a forma explícita em y (quando desejado) e discutir domínio:
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados obtemos a solução explícita
y=\left(-\frac{3}{x}+3x+C\right)^{1/3},
onde C é constante arbitrária. Lembrar:
  • O domínio natural da solução é x\neq 0 (por causa da divisão por x que apareceu ao integrar).
  • A raiz cúbica está bem definida para qualquer número real (não precisamos restringir o sinal).
  • Como mencionado, não há solução constante y\equiv 0 em x\neq 0.

Resposta

y^{3}=-\dfrac{3}{x}+3x+C
y=\left(-\dfrac{3}{x}+3x+C\right)^{1/3}

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