Questão 2)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede encontrar a solução geral
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear de primeira ordem na forma padrão
com e . - Queremos a solução geral, ou seja, a soma da solução homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Vamos usar o método do fator integrante (integrating factor). Ideia (explicada devagar): para uma equação linear de primeira ordem
existe uma função
tal que multiplicando a equação por
a parte esquerda vira a derivada do produto
. Essa
é dada por
Aqui
, então calculamos o fator integrante:
Explicando o porquê: a regra do produto diz
. Queremos
, isto é
, cuja solução é
.
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
Pelo design do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Mostrando com a regra do produto:
, que coincide com o lado esquerdo.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra direto para
. No lado direito temos duas integrais:
A segunda é imediata:
A primeira requer integração por partes. Vou explicar integração por partes passo a passo: se escolhermos
e
com
e
, vale
Aqui escolhemos
e
. Então
e
Aplicando:
Portanto a integral total do lado direito é
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Igualando ao lado esquerdo integrado, obtemos
Agora isolamos
dividindo por
. Lembre-se que dividir
por
dá
, e dividir
por
dá
. Fazendo isso:
Passo 6
Interpretação didática do resultado:
- A solução geral é soma de uma solução particular
e da solução homogênea . - Podemos verificar rapidamente que
é de fato uma solução particular. Calculando :
Agora somando
:
que é exatamente o lado direito da equação original. Então está consistente.