Questão 2)
y^{\prime}+3 y=x+e^{-2 x}
\begin{gathered} \frac{d y}{d x}+3 y=x+e^{-2 x} \\\ e^{\int p(x) d x}=e^{\int 3 d x}=e^{3 \int 1 d x}=e^{3 x} \\\ \left(e^{3 x} \cdot y\right)^{\prime}=\left(x+e^{-2 x}\right) e^{3 x} \\\ \int\left(e^{3 x} \cdot y\right)^{\prime} d x=\int x e^{3 x}+e^{x} \\\ e^{3 x} \cdot y=x \frac{1}{3} e^{3 x}-\frac{1}{9} e^{3 x}+e^{x}+C \\\ \text { solução: } y=\frac{x}{3}-\frac{1}{9}+e^{-2 x}+C e^{-3 x} \end{gathered}çã

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{d y}{d x}+3y=x+e^{-2x},
e pede encontrar a solução geral y(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear de primeira ordem na forma padrão \dfrac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x) com p(x)=3 e q(x)=x+e^{-2x}.
  • Queremos a solução geral, ou seja, a soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Vamos usar o método do fator integrante (integrating factor). Ideia (explicada devagar): para uma equação linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
existe uma função \mu(x) tal que multiplicando a equação por \mu(x) a parte esquerda vira a derivada do produto \mu(x)y. Essa \mu(x) é dada por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Aqui p(x)=3, então calculamos o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Explicando o porquê: a regra do produto diz (\mu y)'=\mu y'+\mu' y. Queremos \mu'=\mu p, isto é \dfrac{\mu'}{\mu}=p, cuja solução é \mu=e^{\int p}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{3x}. Isso dá
e^{3x}\frac{dy}{dx}+3e^{3x}y=(x+e^{-2x})e^{3x}.
Pelo design do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\left(e^{3x}y\right)'=(x+e^{-2x})e^{3x}.
Mostrando com a regra do produto: \left(e^{3x}y\right)'=e^{3x}y'+3e^{3x}y, que coincide com o lado esquerdo.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \left(e^{3x}y\right)' dx=\int \big(xe^{3x}+e^{x}\big)\,dx.
O lado esquerdo integra direto para e^{3x}y. No lado direito temos duas integrais:
\int x e^{3x}\,dx \quad\text{e}\quad \int e^{x}\,dx.
A segunda é imediata:
\int e^{x}\,dx=e^{x}.
A primeira requer integração por partes. Vou explicar integração por partes passo a passo: se escolhermos u(x) e v'(x) com u'=du/dx e v=\int v'\,dx, vale
\int u\,v'\,dx = u v - \int u' v\,dx.
Aqui escolhemos u=x e v'=e^{3x}. Então u'=1 e
v=\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}.
Aplicando:
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int 1\cdot\frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}.
Portanto a integral total do lado direito é
\int \big(xe^{3x}+e^{x}\big)\,dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Igualando ao lado esquerdo integrado, obtemos
e^{3x}y=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}+e^{x}+C.
Agora isolamos y dividindo por e^{3x}. Lembre-se que dividir e^{x} por e^{3x} e^{-2x}, e dividir e^{3x} por e^{3x} 1. Fazendo isso:
y=\frac{x}{3}-\frac{1}{9}+e^{-2x}+C e^{-3x}.

Passo 6

Interpretação didática do resultado:
  • A solução geral é soma de uma solução particular y_p(x)=\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{9}+e^{-2x} e da solução homogênea y_h(x)=C e^{-3x}.
  • Podemos verificar rapidamente que y_p é de fato uma solução particular. Calculando \dfrac{d}{dx}y_p:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}-\frac{1}{9}+e^{-2x}\right)=\frac{1}{3}-2e^{-2x}.
Agora somando 3y_p:
\frac{1}{3}-2e^{-2x}+3\Big(\frac{x}{3}-\frac{1}{9}+e^{-2x}\Big) = \frac{1}{3}-2e^{-2x}+x- \frac{1}{3}+3e^{-2x} = x+e^{-2x},
que é exatamente o lado direito da equação original. Então está consistente.

Resposta

y=\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{9}+e^{-2x}+C e^{-3x}

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