Questão 2)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a tentativa de solução. Os dados importantes são:
- Equação dada:
. - Objetivo: encontrar a solução geral
(ou seja, a família de soluções com constante arbitrária).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão convenientemente manipulada (subtrair
dos dois lados):
Nessa forma, é útil identificar as funções que aparecem multiplicando
e o termo independente:
-
(coeficiente de ), -
(termo do lado direito).
Passo 3
Apresentar a ideia do fator integrante: escolher uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada de um produto
. O fator integrante padrão é
Aqui
, então
Breve explicação do porquê: pela regra do produto,
. Se escolhermos
com
, então
, que é justamente o que queremos obter.
Passo 4
Multiplicar a equação padronizada por
:
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Observe que
.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, ficando
onde
é a constante de integração. Aqui usei que
.
Passo 6
Isolar
multiplicando por
:
Fazer a multiplicação termo a termo:
-
, -
.
Passo 7
Interpretação da solução e verificação rápida:
- A solução geral é
. - A parte
é a solução geral da equação homogênea associada . - A parte
é uma solução particular da equação completa. (Como checagem alternativa rápida, se tentar um particular da forma , substituindo em encontra-se .) - Verificação por substituição: calcule
e compare com . São iguais, logo a solução está correta.