Questão 2)
\boldsymbol{y}^{\prime}=\mathbf{2} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}}
\begin{gathered} \frac{d y}{d x}-2 y=e^{x} \\\ e^{\int p(x) d x}=e^{\int-2 d x}=e^{-2 \int 1 d x}=e^{-2 x} \\\ \left(e^{-2 x} \cdot y\right) d x=e^{-x} d x \\\ \int\left(e^{-2 x} \cdot y\right) d x=\int e^{-x} d x \end{gathered}
\begin{gathered} e^{-2 x} \cdot y=-e^{-x}+C \\\ \text { solução: } y=-e^{x}+C e^{2 x} \end{gathered}çã

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a tentativa de solução. Os dados importantes são:
  • Equação dada: \dfrac{d y}{d x}=2y+e^{x}.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a família de soluções com constante arbitrária).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão convenientemente manipulada (subtrair 2y dos dois lados):
\frac{d y}{d x}-2y=e^{x}.
Nessa forma, é útil identificar as funções que aparecem multiplicando y e o termo independente:
  • p(x)=-2 (coeficiente de y),
  • q(x)=e^{x} (termo do lado direito).

Passo 3

Apresentar a ideia do fator integrante: escolher uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \mu(x)y. O fator integrante padrão é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Aqui p(x)=-2, então
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.
Breve explicação do porquê: pela regra do produto, \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y'+\mu' y. Se escolhermos \mu com \mu'=\mu p, então \dfrac{d}{dx}(\mu y)=\mu(y'+py), que é justamente o que queremos obter.

Passo 4

Multiplicar a equação padronizada por \mu(x)=e^{-2x}:
e^{-2x}\left(\frac{d y}{d x}-2y\right)=e^{-2x}e^{x}.
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)=e^{-x}.
Observe que e^{-2x}e^{x}=e^{-x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)\,dx=\int e^{-x}\,dx.
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, ficando
e^{-2x}y=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui usei que \dfrac{d}{dx}(-e^{-x})=e^{-x}.

Passo 6

Isolar y multiplicando por e^{2x}:
y=e^{2x}\big(-e^{-x}+C\big)=-e^{x}+C e^{2x}.
Fazer a multiplicação termo a termo:
  • e^{2x}\cdot(-e^{-x})=-e^{x},
  • e^{2x}\cdot C = C e^{2x}.

Passo 7

Interpretação da solução e verificação rápida:
  • A solução geral é y(x)=-e^{x}+C e^{2x}.
  • A parte C e^{2x} é a solução geral da equação homogênea associada \dfrac{dy}{dx}-2y=0.
  • A parte -e^{x} é uma solução particular da equação completa. (Como checagem alternativa rápida, se tentar um particular da forma Ae^{x}, substituindo em \dfrac{dy}{dx}-2y=e^{x} encontra-se A=-1.)
  • Verificação por substituição: calcule \dfrac{dy}{dx}=-e^{x}+2C e^{2x} e compare com 2y+e^{x}=2(-e^{x}+C e^{2x})+e^{x}=-e^{x}+2C e^{2x}. São iguais, logo a solução está correta.

Resposta

y=-e^{x}+C e^{2x}

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