Questão 2)
\boldsymbol{y}^{\prime}-\boldsymbol{y}=\mathbf{2} \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}}
\begin{aligned} &\frac{d y}{d x}-y=2 e^{x} \\\ &e^{\int p(x) d x}=e^{-\int 1 d x}=e^{-x} \\\ &\left(e^{-x} \cdot y\right)^{\prime}=2e^{-x}e^{x} \\\ &\int\left(e^{-x} \cdot y\right)^{\prime} d x=\int 2 d x \\\ &e^{-x} y=2 x+C \\\ &\text { solução: } y=2 x e^{x}+C e^{x} \end{aligned}çã

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e pede a solução geral y(x):
\frac{d y}{d x}-y=2e^{x}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função incógnita é y, que depende de x, ou seja y=y(x).
  • A equação relaciona y' (derivada de y em relação a x) com y e uma função conhecida 2e^{x}.
  • O objetivo é encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa igualdade (solução geral, com constante arbitrária).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática).
A equação está escrita em uma forma que pode ser colocada como
\frac{d y}{d x}+p(x)y=q(x).
Aqui, basta identificar p(x) e q(x). No nosso caso reescrevemos a equação original como
\frac{d y}{d x}+(-1)\,y=2e^{x},
portanto p(x)=-1 e q(x)=2e^{x}.
Uma técnica eficiente para esse tipo de equação é usar um fator integrante \mu(x) tal que multiplicando a equação por \mu(x) a parte esquerda vire a derivada do produto \mu(x)y. Vou explicar agora como construir \mu(x).

Passo 3

Construção do fator integrante (aula rápida sobre a ideia).
O fator integrante é definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Explicando por que isso funciona: se \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx} então, derivando \mu,
\mu'(x)=p(x)\,\mu(x).
Logo, aplicando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=\mu(x)\,y'(x)+\mu'(x)\,y(x)=\mu(x)\big(y'(x)+p(x)y(x)\big),
ou seja, multiplicando a equação original por \mu a esquerda se transforma exatamente em \dfrac{d}{dx}(\mu y). Isso facilita integrar ambos os lados.

Passo 4

Calcular o fator integrante para este caso e multiplicar a equação.
Aqui p(x)=-1. Então
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x}:
e^{-x}\frac{d y}{d x}-e^{-x}y=2e^{-x}e^{x}.
Agora observe a esquerda: pela fórmula do passo anterior,
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{-x}\frac{d y}{d x}+(e^{-x})'y.
Calculando (e^{-x})'=-e^{-x} obtemos
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{-x}\frac{d y}{d x}-e^{-x}y.
Portanto a equação multiplicada fica
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=2.

Passo 5

Integrar ambos os lados (explicando cada etapa).
Agora que temos a derivada do produto igual a 2, integramos em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)\,dx=\int 2\,dx.
A integral da derivada é simplesmente o próprio produto (mais uma constante):
e^{-x}y=2x+C,
onde C é a constante arbitrária de integração (explicando: integrar uma função derivada recupera a função original até uma constante porque derivada “perde” constantes).

Passo 6

Isolar y e simplificar (mostrar como ficar na forma mais útil).
Agora multiplicamos ambos os lados por e^{x} para isolar y:
y=e^{x}(2x+C)=2x e^{x}+C e^{x}.
Aqui C é uma constante real arbitrária, que gera a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Verificação rápida (como checar na prova sem perder muito tempo).
Sempre que puder, cheque substituindo a solução encontrada na equação original. Calculando y' de y=2x e^{x}+C e^{x}:
y'=\frac{d}{dx}\big(2x e^{x}\big)+C\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big).
Usando a regra do produto em \frac{d}{dx}(2x e^{x}):
\frac{d}{dx}(2x e^{x})=2e^{x}+2x e^{x}.
E \frac{d}{dx}(C e^{x})=C e^{x}. Então
y'=2e^{x}+2x e^{x}+C e^{x}.
Agora compute y'-y:
y'-y=(2e^{x}+2x e^{x}+C e^{x})-(2x e^{x}+C e^{x})=2e^{x},
que coincide com o lado direito da equação original. Logo a solução está correta.

Resposta

y=2x e^{x}+C e^{x}

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