Questão 2)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e pede a solução geral
:
Informações relevantes do enunciado:
- A função incógnita é
, que depende de , ou seja . - A equação relaciona
(derivada de em relação a ) com e uma função conhecida . - O objetivo é encontrar a família de funções
que satisfazem essa igualdade (solução geral, com constante arbitrária).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática).
A equação está escrita em uma forma que pode ser colocada como
A equação está escrita em uma forma que pode ser colocada como
Aqui, basta identificar
e
. No nosso caso reescrevemos a equação original como
portanto
e
.
Uma técnica eficiente para esse tipo de equação é usar um fator integrante
tal que multiplicando a equação por
a parte esquerda vire a derivada do produto
. Vou explicar agora como construir
.
Passo 3
Construção do fator integrante (aula rápida sobre a ideia).
O fator integrante é definido por
O fator integrante é definido por
Explicando por que isso funciona: se
então, derivando
,
Logo, aplicando a regra do produto,
ou seja, multiplicando a equação original por
a esquerda se transforma exatamente em
. Isso facilita integrar ambos os lados.
Passo 4
Calcular o fator integrante para este caso e multiplicar a equação.
Aqui . Então
Aqui
Multiplicamos a equação original por
:
Agora observe a esquerda: pela fórmula do passo anterior,
Calculando
obtemos
Portanto a equação multiplicada fica
Passo 5
Integrar ambos os lados (explicando cada etapa).
Agora que temos a derivada do produto igual a , integramos em relação a
:
Agora que temos a derivada do produto igual a
A integral da derivada é simplesmente o próprio produto (mais uma constante):
onde
é a constante arbitrária de integração (explicando: integrar uma função derivada recupera a função original até uma constante porque derivada “perde” constantes).
Passo 6
Isolar
e simplificar (mostrar como ficar na forma mais útil).
Agora multiplicamos ambos os lados por para isolar
:
Agora multiplicamos ambos os lados por
Aqui
é uma constante real arbitrária, que gera a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Verificação rápida (como checar na prova sem perder muito tempo).
Sempre que puder, cheque substituindo a solução encontrada na equação original. Calculando de
:
Sempre que puder, cheque substituindo a solução encontrada na equação original. Calculando
Usando a regra do produto em
:
E
. Então
Agora compute
:
que coincide com o lado direito da equação original. Logo a solução está correta.