Questão 2)
y^{\prime}+y=x e^{-x}+1
\begin{aligned} &\frac{d y}{d x}+y=x e^{-x}+1 \\\ &e^{\int p(x) d x}=e^{\int 1 d x}=e^{x} \\\ &\left(e^{x} \cdot y\right)^{\prime}=\left(x e^{-x}+1\right) e^{x} \\\ &\int\left(e^{x} \cdot y\right)^{\prime} d x=\int x e^{-x}e^{x}+e^{x} d x \\\ &e^{x} \cdot y=\frac{x^{2}}{2}+e^{x}+C \\\ &\text { solução: } y=\frac{x^{2} e^{-x}}{2}+1+C e^{-x} \end{aligned}çã

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
\frac{d y}{d x}+y=x e^{-x}+1.
Informações relevantes:
  • A equação é de primeira ordem (aparece só y') e linear em y.
  • Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral com constante arbitrária C.
  • A incógnita é y(x).

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (passo-a-passo, sem pular): para uma equação linear de primeira ordem da forma
\frac{d y}{d x}+p(x)\,y=q(x),
existe um truque padrão chamado fator integrante. Definimos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
A razão disso é a regra do produto: se multiplicarmos a equação por \mu(x) obtemos
\mu(x)\frac{d y}{d x}+\mu(x)p(x)y = \mu(x)q(x).
Pela regra do produto a esquerda é exatamente a derivada de \mu(x)y, porque
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\frac{d y}{d x}+\mu'(x)y
e \mu'(x)=\mu(x)p(x) quando \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Assim ficamos com
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)q(x),
que é fácil de integrar em relação a x.

Passo 3

Identificar p(x) e q(x) no nosso problema:
p(x)=1,\qquad q(x)=x e^{-x}+1.
Calcular o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x}. O lado esquerdo vira derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\big(x e^{-x}+1\big).
Simplificar o lado direito usando a propriedade e^{x}\cdot e^{-x}=1:
e^{x}\big(x e^{-x}+1\big)=x+e^{x}.
Portanto a equação transformada é
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=x+e^{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx=\int \big(x+e^{x}\big)\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{x}y. No lado direito calculamos as integrais separadamente:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\qquad \int e^{x}\,dx=e^{x}.
Assim obtemos
e^{x}y=\frac{x^{2}}{2}+e^{x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolar y dividindo por e^{x}:
y=\frac{1}{e^{x}}\left(\frac{x^{2}}{2}+e^{x}+C\right)=\frac{x^{2}e^{-x}}{2}+1+Ce^{-x}.
Aqui \;C\in\mathbb{R}\; é a constante arbitrária que representa a família de soluções.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): derivar a solução encontrada e substituir na equação original para checar que funciona.
Calcular a derivada de y:
y=\frac{x^{2}e^{-x}}{2}+1+Ce^{-x}.
Para a primeira parcela use a regra do produto com u=\dfrac{x^{2}}{2} e v=e^{-x}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}e^{-x}}{2}\right)=\left(\frac{d}{dx}\frac{x^{2}}{2}\right)e^{-x}+\frac{x^{2}}{2}\frac{d}{dx}e^{-x}=x e^{-x}-\frac{x^{2}}{2}e^{-x}.
Derivando o restante:
\frac{d}{dx}(1)=0,\qquad \frac{d}{dx}(Ce^{-x})=-Ce^{-x}.
Somando,
y' = e^{-x}\!\left(x-\frac{x^{2}}{2}-C\right).
Agora y'+y é
y'+y=e^{-x}\!\left(x-\frac{x^{2}}{2}-C\right)+\frac{x^{2}e^{-x}}{2}+1+Ce^{-x}=x e^{-x}+1,
pois os termos com \dfrac{x^{2}e^{-x}}{2} e Ce^{-x} se cancelam apropriadamente. Isso coincide com o lado direito original, confirmando a solução.

Passo 8

Conclusão: a solução geral da equação dada é a família
y(x)=\frac{x^{2}e^{-x}}{2}+1+Ce^{-x},
com C constante arbitrária. Força aí — essa técnica de fator integrante é padrão e salva tempo na prova quando a equação é linear de primeira ordem!

Resposta

y=\dfrac{x^{2}e^{-x}}{2}+1+Ce^{-x}

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