Questão 2)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes:
- A equação é de primeira ordem (aparece só
) e linear em . - Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral com constante arbitrária
. - A incógnita é
.
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (passo-a-passo, sem pular): para uma equação linear de primeira ordem da forma
existe um truque padrão chamado fator integrante. Definimos o fator integrante
A razão disso é a regra do produto: se multiplicarmos a equação por
obtemos
Pela regra do produto a esquerda é exatamente a derivada de
, porque
e
quando
. Assim ficamos com
que é fácil de integrar em relação a
.
Passo 3
Identificar
e
no nosso problema:
Calcular o fator integrante:
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. O lado esquerdo vira derivada do produto:
Simplificar o lado direito usando a propriedade
:
Portanto a equação transformada é
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. No lado direito calculamos as integrais separadamente:
Assim obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
dividindo por
:
Aqui
é a constante arbitrária que representa a família de soluções.
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): derivar a solução encontrada e substituir na equação original para checar que funciona.
Calcular a derivada de :
Calcular a derivada de
Para a primeira parcela use a regra do produto com
e
:
Derivando o restante:
Somando,
Agora
é
pois os termos com
e
se cancelam apropriadamente. Isso coincide com o lado direito original, confirmando a solução.
Passo 8
Conclusão: a solução geral da equação dada é a família
com
constante arbitrária. Força aí — essa técnica de fator integrante é padrão e salva tempo na prova quando a equação é linear de primeira ordem!