Questão 8)
a) y^{\prime}-y=2 x e^{2 x} ; y(0)=1
\begin{aligned} & y^{\prime}+P(x) y=Q(x) \\ & P(x)=-1 e Q(x)=2 x e^{2 x} \\ & \mu(x)=e^{\int p(x) d x} \\ & \mu(x)=e^{\int-1 d x}=\mathrm{e}^{-x} \\ & e^{-x} y^{\prime}-e^{-x} y=2 x e^{2 x} e^{-x} \\ & e^{-x} y^{\prime}-e^{-x} y=2 x e^{x} \\ & \frac{d}{d x}\left(e^{-x} y\right)=2 x e^{x} \\ & \int \frac{d}{d x}\left(e^{-x} y\right)=\int 2 x e^{x} \\ & e^{-x} y=2 x e^{x}-2 e^{x}+C \\ & y=e^{x}\left(2 x e^{x}-2 e^{x}+C\right) \\ & y=2 x e^{2 x}-2 e^{2 x}+C e^{x} \\ & 1=2(0) e^{2(0)}-2 e^{2(0)}+C e^{0} \\ & 1=-2+C \\ & C=3 \\ & \text { solução: } y=2 x e^{2 x}-2 e^{2 x}+3 e^{x} \end{aligned}çã

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
  • Equação diferencial: y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Podemos escrever a equação na forma padrão y^{\prime}+P(x)y=Q(x). Aqui: P(x)=-1,\qquad Q(x)=2x e^{2x}.
O objetivo é encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  • Para uma equação linear de primeira ordem na forma y^{\prime}+P(x)y=Q(x),usa-se o fator integrante \mu(x) definido por \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
  • Por que isso funciona? Se multiplicarmos a equação por \mu(x) obtemos \mu y^{\prime}+\mu P y=\mu Q.Mas \mu'=\mu P (pelo modo como \mu é definido), então a expressão à esquerda é exatamente a derivada do produto \mu y: \frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y^{\prime}+\mu' y=\mu y^{\prime}+\mu P y.Assim podemos integrar ambos os lados e resolver para y. Isso reduz a equação a uma integral única — por isso esse método é prático numa prova.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x).
  • Como P(x)=-1, temos \mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{-x} e simplificar.
  • Multiplicando termo a termo: e^{-x}y^{\prime}-e^{-x}y = 2x e^{2x} e^{-x}.
  • Simplificando o lado direito usando e^{2x}e^{-x}=e^{x}: e^{-x}y^{\prime}-e^{-x}y = 2x e^{x}.
  • Pela propriedade do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto: \frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=2x e^{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter uma expressão para e^{-x}y.
  • Integramos: \int \frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)\,dx=\int 2x e^{x}\,dx.
  • A integral do lado esquerdo dá e^{-x}y. Agora calculamos a integral do lado direito. Use integração por partes em \int x e^{x}\,dx:
    • Tome u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}.
    • Assim \int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C_1.
    • Multiplicando por 2: \int 2x e^{x}\,dx = 2x e^{x} - 2 e^{x} + C,onde C é a constante de integração (absorvendo 2C_1).
  • Então obtemos e^{-x}y = 2x e^{x} - 2 e^{x} + C.

Passo 6

Resolver para y (obter a solução geral).
  • Multiplicando por e^{x} dos dois lados: y = e^{x}\big(2x e^{x} - 2 e^{x} + C\big).
  • Simplificando: y = 2x e^{2x} - 2 e^{2x} + C e^{x}.
Essa é a solução geral da equação, com constante arbitrária C.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para determinar C.
  • Substituindo x=0 na solução geral: y(0)=2\cdot 0\cdot e^{0} - 2 e^{0} + C e^{0} = -2 + C.
  • Como y(0)=1, obtemos 1 = -2 + C.
  • Logo C=3.

Passo 8

Conclusão (o passo final da resolução).
  • Substituir o valor C=3 na solução geral produz a solução particular que satisfaz a condição inicial. (A expressão final fica escrita na seção de resposta abaixo.)

Resposta

y=2x e^{2x}-2 e^{2x}+3 e^{x}

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