Questão 8)
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Podemos escrever a equação na forma padrão
. Aqui:
O objetivo é encontrar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
- Para uma equação linear de primeira ordem na forma
usa-se o fator integrante definido por - Por que isso funciona? Se multiplicarmos a equação por
obtemos Mas (pelo modo como é definido), então a expressão à esquerda é exatamente a derivada do produto : Assim podemos integrar ambos os lados e resolver para . Isso reduz a equação a uma integral única — por isso esse método é prático numa prova.
Passo 3
Calcular o fator integrante
.
- Como
, temos
Passo 4
Multiplicar a equação original por
e simplificar.
- Multiplicando termo a termo:
- Simplificando o lado direito usando
: - Pela propriedade do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integrar ambos os lados para obter uma expressão para
.
- Integramos:
- A integral do lado esquerdo dá
. Agora calculamos a integral do lado direito. Use integração por partes em : - Tome
e . Então e . - Assim
- Multiplicando por
: onde é a constante de integração (absorvendo ).
- Tome
- Então obtemos
Passo 6
Resolver para
(obter a solução geral).
- Multiplicando por
dos dois lados: - Simplificando:
Essa é a solução geral da equação, com constante arbitrária
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
- Substituindo
na solução geral: - Como
, obtemos - Logo
Passo 8
Conclusão (o passo final da resolução).
- Substituir o valor
na solução geral produz a solução particular que satisfaz a condição inicial. (A expressão final fica escrita na seção de resposta abaixo.)