Questão 2)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que se determine a solução geral
. Informações relevantes dadas:
- A equação está escrita com derivada de
em relação a : . - Não foi dada condição inicial; portanto queremos a solução geral com constante arbitrária
. - Note que a equação envolve o ponto
(aparece no denominador se a colocarmos em certa forma); logo devemos observar que a solução valerá em intervalos onde .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão (coeficiente de
igual a 1). Dividindo ambos os lados por
(valendo para
) obtemos
Aqui escrevo explicitamente cada termo: o coeficiente de
é
e o termo do lado direito é
.
Passo 3
Motivação do método (curta aula): uma técnica prática para equações da forma
é multiplicar por um fator
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Isso porque
Queremos igualar
a
, isto é escolher
que satisfaça
Resolver essa equação para
nos dá o chamado fator integrante.
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Como
, resolve-se
Para simplificar o trabalho prático, escolhemos um intervalo onde
(ou
); nesse intervalo podemos tomar
(o sinal absoluto só muda a constante final). Lembrete: isso reforça que a solução é válida para
.
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. Temos
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Logo a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra imediatamente para
. Fica então
Passo 7
Calcular a integral
. Fazemos por partes (fórmula:
). Escolhas convenientes:
-
. -
(pois ).
Aplicando partes para
:
Calcular a segunda integral:
portanto
Assim
Multiplicando por
(porque a integral original tem fator
):
Passo 8
Substituir na expressão para
:
onde juntei as constantes
e a constante da integração numa única constante
.
Agora isolar
dividindo por
(lembrando
):
Passo 9
Comentários práticos para a prova (dicas rápidas e amigáveis):
- Sempre coloque a equação na forma
antes de pensar em fator integrante. - Calcule
. Cuidado com — daí surge no fator integrante; trabalhe em intervalos onde o sinal de seja fixo. - Para integrar termos como
use partes com , ; é um padrão que aparece frequentemente. - Se o enunciado der condição inicial, substitua para encontrar
; sem condição, a solução geral inclui .