Questão 2)
x y^{\prime}+y=3 x \cos (2 x)
\begin{aligned} &x \frac{d y}{d x}+y=3 x \cos (2 x) \\\ &\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=3 \cos (2 x) \\\ &e^{\int p(x) d x}=e^{\int \frac{1}{x} d x}=e^{\ln |x|}=x \\\ &(x . y)^{\prime}=3 x \cos (2 x) \\\ &\int(x . y)^{\prime} d x=\int 3 x \cos (2 x) dx \\\ &x y=\frac{3 x \operatorname{sen}(2 x)}{2}+\frac{3 \cos (2 x)}{4}+C \\\ &\operatorname{solução}: y=\frac{3 \operatorname{sen}(2 x)}{2}+\frac{3 \cos (2 x)}{4x}+\frac{C}{x} \end{aligned}̧

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x\,y^{\prime}+y=3x\cos(2x),
e pede que se determine a solução geral y(x). Informações relevantes dadas:
  • A equação está escrita com derivada de y em relação a x: \,y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}\,.
  • Não foi dada condição inicial; portanto queremos a solução geral com constante arbitrária C.
  • Note que a equação envolve o ponto x=0 (aparece x no denominador se a colocarmos em certa forma); logo devemos observar que a solução valerá em intervalos onde x\neq0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão (coeficiente de y^{\prime} igual a 1). Dividindo ambos os lados por x (valendo para x\neq0) obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\,y=3\cos(2x).
Aqui escrevo explicitamente cada termo: o coeficiente de y é p(x)=\dfrac{1}{x} e o termo do lado direito é g(x)=3\cos(2x).

Passo 3

Motivação do método (curta aula): uma técnica prática para equações da forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=g(x)
é multiplicar por um fator \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. Isso porque
\bigl(\mu(x)y\bigr)^{\prime}=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)\,y.
Queremos igualar \mu'(x) a p(x)\mu(x), isto é escolher \mu que satisfaça
\mu'(x)=p(x)\mu(x).
Resolver essa equação para \mu nos dá o chamado fator integrante.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Como p(x)=\dfrac{1}{x}, resolve-se
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int \frac{1}{x}\,dx}=e^{\ln|x|}=|x|.
Para simplificar o trabalho prático, escolhemos um intervalo onde x>0 (ou x<0); nesse intervalo podemos tomar \mu(x)=x (o sinal absoluto só muda a constante final). Lembrete: isso reforça que a solução é válida para x\neq0.

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x. Temos
x\frac{dy}{dx}+y = 3x\cos(2x).
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\bigl(xy\bigr)^{\prime}=x\frac{dy}{dx}+y.
Logo a equação fica
\bigl(xy\bigr)^{\prime}=3x\cos(2x).

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(xy\bigr)^{\prime}\,dx=\int 3x\cos(2x)\,dx.
O lado esquerdo integra imediatamente para xy. Fica então
xy=\int 3x\cos(2x)\,dx + C.

Passo 7

Calcular a integral \displaystyle\int 3x\cos(2x)\,dx. Fazemos por partes (fórmula: \displaystyle\int u\,dv = uv-\int v\,du). Escolhas convenientes:
  • u=x \Rightarrow du=dx.
  • dv=\cos(2x)\,dx \Rightarrow v=\dfrac{1}{2}\sin(2x) (pois \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)).
Aplicando partes para \int x\cos(2x)\,dx:
\int x\cos(2x)\,dx = x\cdot\frac{1}{2}\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx.
Calcular a segunda integral:
\int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x),
portanto
- \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)=\frac{1}{4}\cos(2x).
Assim
\int x\cos(2x)\,dx = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C_1.
Multiplicando por 3 (porque a integral original tem fator 3):
\int 3x\cos(2x)\,dx = \frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + C_2.

Passo 8

Substituir na expressão para xy:
xy = \frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + C,
onde juntei as constantes C_2 e a constante da integração numa única constante C.
Agora isolar y dividindo por x (lembrando x\neq0):
y=\frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\frac{\cos(2x)}{x} + \frac{C}{x}.

Passo 9

Comentários práticos para a prova (dicas rápidas e amigáveis):
  • Sempre coloque a equação na forma \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=g(x) antes de pensar em fator integrante.
  • Calcule \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Cuidado com \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x| — daí surge |x| no fator integrante; trabalhe em intervalos onde o sinal de x seja fixo.
  • Para integrar termos como \int x\cos(2x)\,dx use partes com u=x, dv=\cos(2x)\,dx; é um padrão que aparece frequentemente.
  • Se o enunciado der condição inicial, substitua para encontrar C; sem condição, a solução geral inclui \dfrac{C}{x}.

Resposta

y(x)=\frac{3}{2}\sin(2x)+\frac{3}{4}\frac{\cos(2x)}{x}+\frac{C}{x}

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