Questão 2)
y^{\prime}-2 y=x^{2} e^{2 x}
\begin{aligned} &\frac{d y}{d x}-2 y=x^{2} e^{2 x} \\\ &e^{\int p(x) d x}=e^{\int-2 d x}=e^{-2 \int 1 d x}=e^{-2 x} \\\ &\left(e^{-2 x} \cdot y\right)^{\prime}=x^{2} e^{2x}e^{-2x} \end{aligned}
\begin{aligned} &\int\left(e^{-2 x} \cdot y\right)^{\prime} d x=\int x^{2} d x \\\ &e^{-2 x} \cdot y=\frac{x^{3}}{3}+C \\\ &\text { solução }: y=\frac{x^{3} e^{2 x}}{3}+C e^{2 x} \end{aligned}çã

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária e pede achar a solução geral:
\frac{d y}{d x}-2 y=x^{2} e^{2 x}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem (aparece apenas y').
  • Ela está na forma y'-2y= alguma função de x.
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto queremos a solução geral com constante arbitrária C.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem:
\frac{d y}{d x}+p(x)\,y=q(x).
Aqui identificamos
p(x)=-2,\qquad q(x)=x^{2}e^{2x}.
Explicação do que são p(x) e q(x): p(x) é a função que multiplica y quando a equação é escrita como y'+p(x)y=q(x); q(x) é a função “forçante” (lado direito) dependente de x.

Passo 3

Apresentar e explicar o método do fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar toda a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y. Essa \mu(x) é dada por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Por que isso funciona (intuição curta): usando a regra do produto, (\mu y)'=\mu y'+\mu' y. Se escolhermos \mu tal que \mu'=\mu p, então (\mu y)'=\mu(y'+p y), exatamente o que queremos. A condição \mu'=\mu p é satisfeita por \mu=e^{\int p}.

Passo 4

Calcular explicitamente o fator integrante \mu(x) com p(x)=-2:
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.
Observação: uma constante multiplicativa em \mu não altera o processo (pode-se tomar a constante igual a 1).

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{-2x}. Fazendo isso:
e^{-2x}\frac{dy}{dx}-2e^{-2x}y = x^{2}e^{2x}e^{-2x}.
No lado direito e^{2x}e^{-2x}=1, então simplifica para x^{2}. Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto e^{-2x}y. Assim obtemos a equação equivalente
\left(e^{-2x}y\right)'=x^{2}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x. Integração do lado esquerdo dá de volta e^{-2x}y; do lado direito, integrar x^{2} é direto:
\int\left(e^{-2x}y\right)' dx=\int x^{2} dx
e^{-2x}y=\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é a constante de integração (apareceu uma única vez, que é suficiente para a solução geral).

Passo 7

Isolar y multiplicando por e^{2x}:
y=e^{2x}\left(\frac{x^{3}}{3}+C\right)=\frac{x^{3}e^{2x}}{3}+C e^{2x}.
Explicação do resultado: a solução geral é a soma de uma solução particular (a primeira parcela) e da solução geral da homogênea associada (a termo C e^{2x}). A homogênea associada é y'-2y=0, cuja solução é y_h=C e^{2x}.

Passo 8

Verificação rápida (útil para a prova): derivar a solução encontrada e verificar que satisfaz a equação original.
Tomando
y=\frac{x^{3}e^{2x}}{3}+C e^{2x},
calcule y'. Use a regra do produto para u(x)=\dfrac{x^{3}}{3} e v(x)=e^{2x}:
u'(x)=x^{2},\qquad v'(x)=2e^{2x}.
Logo
y' = x^{2}e^{2x} + \frac{x^{3}}{3}\cdot 2e^{2x} + C\cdot 2e^{2x}.
Agora compute y'-2y:
y'-2y = \Bigl[x^{2}e^{2x} + 2e^{2x}\Bigl(\frac{x^{3}}{3}+C\Bigr)\Bigr] - 2\Bigl[\frac{x^{3}e^{2x}}{3}+C e^{2x}\Bigr].
Os termos com \frac{x^{3}}{3}e^{2x} e com C e^{2x} cancelam, sobrando
y'-2y = x^{2}e^{2x},
que é exatamente o lado direito da equação dada. Portanto a solução está correta.

Resposta

y=\frac{x^{3}e^{2x}}{3}+C e^{2x}

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