Questão 2)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária e pede achar a solução geral:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é de primeira ordem (aparece apenas
). - Ela está na forma
alguma função de . - Não foram dadas condições iniciais; portanto queremos a solução geral com constante arbitrária
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem:
Aqui identificamos
Explicação do que são
e
:
é a função que multiplica
quando a equação é escrita como
;
é a função “forçante” (lado direito) dependente de
.
Passo 3
Apresentar e explicar o método do fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar toda a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto
. Essa
é dada por
Por que isso funciona (intuição curta): usando a regra do produto,
. Se escolhermos
tal que
, então
, exatamente o que queremos. A condição
é satisfeita por
.
Passo 4
Calcular explicitamente o fator integrante
com
:
Observação: uma constante multiplicativa em
não altera o processo (pode-se tomar a constante igual a
).
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso:
No lado direito
, então simplifica para
. Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Assim obtemos a equação equivalente
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
. Integração do lado esquerdo dá de volta
; do lado direito, integrar
é direto:
onde
é a constante de integração (apareceu uma única vez, que é suficiente para a solução geral).
Passo 7
Isolar
multiplicando por
:
Explicação do resultado: a solução geral é a soma de uma solução particular (a primeira parcela) e da solução geral da homogênea associada (a termo
). A homogênea associada é
, cuja solução é
.
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): derivar a solução encontrada e verificar que satisfaz a equação original.
Tomando
Tomando
calcule
. Use a regra do produto para
e
:
Logo
Agora compute
:
Os termos com
e com
cancelam, sobrando
que é exatamente o lado direito da equação dada. Portanto a solução está correta.