Questão 1: Numa bomba centrífuga
foram levantadas as seguintes medidas após uma análise dimensional do rotor:
No catálogo do fabricante, encontrou-se os seguintes valores para o rendimento volumétrico e mecânico respectivamente:
e
. Considerando que bomba recalcará um fluido cujo peso específico
. Determine:
a) Vazão recalcada considerando uma rotação
.
b) Valor de Hth para essa mesma rotação.
c) Potência do motor elétrico comercial necessário para que a bomba seja capaz de operar nesta condição descrita na questão.
d) Se a altura manométrica da instalação onde a bomba deverá operar com essas condições for igual a 38 m , determine o rendimento total da bomba.
a) Vazão recalcada considerando uma rotação
b) Valor de Hth para essa mesma rotação.
c) Potência do motor elétrico comercial necessário para que a bomba seja capaz de operar nesta condição descrita na questão.
d) Se a altura manométrica da instalação onde a bomba deverá operar com essas condições for igual a 38 m , determine o rendimento total da bomba.
Passo 1
O enunciado pede que se determine, para uma bomba centrífuga nas condições indicadas (rotação
):
- (a) a vazão recalcada;
- (b) o valor de
(altura teórica de Euler); - (c) a potência do motor elétrico comercial necessária;
- (d) se a altura manométrica da instalação é
, determinar o rendimento total da bomba.
Dados fornecidos (peguei todos os valores do enunciado):
-
. - Diâmetros:
, . - Larguras (espessuras de canal):
, . - Ângulos das palhetas (ângulos relativos):
, . - Número de palhetas:
. - Espessura das palhetas (no sentido periférico):
. - Eficiências do catálogo:
(volumétrica) e (mecânica). - Peso específico informado em unidades práticas:
. Interpreto isso (como usual) como massa específica (pois corresponde ao peso de sob ). Usarei quando necessário. - Rotação:
.
Observação: todos os cálculos numéricos serão mostrados passo a passo; as fórmulas usadas serão explicadas quando surgirem.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a fórmula para a velocidade periférica na secção
(com
):
Explicação:
é a velocidade tangencial (periférica) do rotor na linha de raio correspondente ao diâmetro
. A fórmula vem de
com
e
.
Calculemos
e
:
Agora a área livre de passagem (área meridional) na secção
. A circunferência total é
; as palhetas ocupam um comprimento periférico total
. Assim a largura livre periférica é
e a área meridional aproximada:
Essa expressão assume que
é a espessura média de cada palheta medida ao longo da periferia (como dado), e que a passagem disponibilizada ao fluido é a circunferência menos a soma das espessuras das palhetas.
Calculemos
e
:
Passo 3
Agora precisamos relacionar as velocidades do fluido com os ângulos dados. Vou explicar os vetores de velocidades e os ângulos de maneira bem didática.
-
= velocidade absoluta do fluido (no referencial fixo). Tem componente tangencial e meridional (ou axial) . -
= velocidade periférica do rotor (já calculada). -
= velocidade relativa do fluido (referencial ligado ao rotor). A palheta está orientada segundo um ângulo em relação à tangente; esse ângulo é o da velocidade relativa . -
é o ângulo da velocidade absoluta em relação à tangente (ângulo absoluto).
Relações geométricas (definições):
No caso do influxo (seção 1) a componente meridional é
e a componente tangencial relativa pode ser escrita, com convenção de sinais adequada, como
(pois o rotor move-se mais rápido que o fluido tangencialmente na entrada típica). Assim, tomamos:
Também
Substituindo e isolando
obtém-se (faça-se a manipulação algébrica ou a derivação mental que mostrei):
Explicação em palavras: essa fórmula vem de juntar as duas definições
e
e resolver para a componente meridional
em função de
e dos ângulos.
Passo 4
Calculemos
numericamente. Primeiro os tangentes:
Aplicando a fórmula:
A vazão teórica (ideal, sem perdas volumétricas) é:
Explicação: a vazão é área vezes velocidade meridional.
Agora aplicamos a eficiência volumétrica: a vazão realmente recalcada (entregue) pela bomba é
Calculando:
Conversões úteis:
(Isto responde o item (a).)
Passo 5
Precisamos obter
(altura teórica segundo Euler). A fórmula de Euler para máquinas rotodinâmicas, em termos de velocidades na entrada e saída, é
onde
e
são as componentes tangenciais da velocidade absoluta nas seções 1 e 2. Explicação: essa é a variação de momento angular por unidade de massa, transformada em energia específica (altura).
Já tínhamos
. Calculamos:
Para a saída, usamos continuidade meridional (vazão constante):
se quisermos usar a vazão teórica que gerou as condições no interior do rotor. Aqui, como
é a cabeça teórica associada ao perfil de velocidades ideal do rotor, usamos a vazão teórica
para obter
. Assim:
Explicação: dentro do rotor (perfil teórico) a vazão que passa pelas seções corresponde à vazão teórica usada para obter
.
Agora relacionamos
com
. Pela definição do ângulo relativo na saída:
logo
Calculemos numericamente:
. Assim
Agora a diferença de produtos:
Então a altura teórica:
(Isto responde o item (b).)
Passo 6
Agora a potência necessária. Vamos organizar as potências e eficiências claramente.
- Potência hidráulica efetivamente transmitida ao fluido (potência útil) quando a vazão entregue é
e a altura considerada é (usando a cabeça teórica como referência hidráulica) é:
Explicação: potência hidráulica = massa por tempo (
) × aceleração da gravidade
× altura
.
- A potência no motor/virabrequim necessária para vencer perdas mecânicas é:
Explicação:
é a eficiência mecânica (fração da potência do eixo que realmente vai para o fluido, o resto se perde; portanto o eixo deve fornecer mais potência do que a potência hidráulica).
Calculamos
usando
(vazão entregue) e
:
Então
Agora, um motor comercial deve ser escolhido com folga para não operar exatamente no limite. A potência comercial imediatamente acima de
normalmente é
. Assim, a potência elétrica comercial a ser especificada é
(ou maior, conforme normas locais e fatores de serviço), enquanto a potência mínima requerida do eixo é
.
(Isto responde o item (c).)
Passo 7
Por fim, o rendimento total da bomba quando a altura manométrica da instalação é
.
Definição prática usada em bombas (e adotada aqui):
- Eficiência hidráulica (interno) pode ser tomada como a razão entre a altura manométrica efetiva
e a altura teórica :
- Então o rendimento global (total) da bomba é produto das eficiências volumétrica, hidráulica e mecânica:
Explicação:
reduz a vazão (perdas por fuga),
representa perdas hidráulicas internas que reduzem a altura efetiva em relação à teórica, e
representa perdas mecânicas entre eixo e fluido.
Substituindo
e
:
Em porcentagem:
.
(Isto responde o item (d).)
Resposta
(a)
.
(b)
(c) Potência mínima no eixo ; escolher motor comercial
.
(d) Rendimento total
).
(b)
(c) Potência mínima no eixo
(d) Rendimento total