Questão 1: Numa bomba centrífuga \left(\alpha_{1}=75^{\circ}\right) foram levantadas as seguintes medidas após uma análise dimensional do rotor:
\begin{array}{llll} \mathrm{d}_{1}=160 \mathrm{~mm} & \mathrm{~b}_{1}=30 \mathrm{~mm} & \beta_{1}=26^{\circ} & \mathrm{Z}=10 \text { palhetas } \\\ \mathrm{d}_{2}=280 \mathrm{~mm} & \mathrm{~b}_{2}=21 \mathrm{~mm} & \beta_{2}=40^{\circ} & \mathrm{S}_{1}=\mathrm{S}_{2}=5 \mathrm{~mm} \end{array}
No catálogo do fabricante, encontrou-se os seguintes valores para o rendimento volumétrico e mecânico respectivamente: \eta_{\mathrm{v}}=0,92 e \eta_{\mathrm{m}}=0,86. Considerando que bomba recalcará um fluido cujo peso específico \gamma=870 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}. Determine:
a) Vazão recalcada considerando uma rotação \mathrm{n}=2000 \mathrm{rpm}.
b) Valor de Hth para essa mesma rotação.
c) Potência do motor elétrico comercial necessário para que a bomba seja capaz de operar nesta condição descrita na questão.
d) Se a altura manométrica da instalação onde a bomba deverá operar com essas condições for igual a 38 m , determine o rendimento total da bomba.

Passo 1

O enunciado pede que se determine, para uma bomba centrífuga nas condições indicadas (rotação n=2000\\ \mathrm{rpm}):
  • (a) a vazão recalcada;
  • (b) o valor de H_{th} (altura teórica de Euler);
  • (c) a potência do motor elétrico comercial necessária;
  • (d) se a altura manométrica da instalação é 38\\ \mathrm{m}, determinar o rendimento total da bomba.
Dados fornecidos (peguei todos os valores do enunciado):
  • \alpha_{1}=75^{\circ}.
  • Diâmetros: \;d_{1}=160\\ \mathrm{mm}=0,160\\ \mathrm{m}, \;d_{2}=280\\ \mathrm{mm}=0,280\\ \mathrm{m}.
  • Larguras (espessuras de canal): \;b_{1}=30\\ \mathrm{mm}=0,030\\ \mathrm{m}, \;b_{2}=21\\ \mathrm{mm}=0,021\\ \mathrm{m}.
  • Ângulos das palhetas (ângulos relativos): \beta_{1}=26^{\circ}, \beta_{2}=40^{\circ}.
  • Número de palhetas: \;Z=10.
  • Espessura das palhetas (no sentido periférico): \;S_{1}=S_{2}=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Eficiências do catálogo: \eta_{v}=0,92 (volumétrica) e \eta_{m}=0,86 (mecânica).
  • Peso específico informado em unidades práticas: \gamma=870\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{3}. Interpreto isso (como usual) como massa específica \rho=870\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (pois 1\\ \mathrm{kgf} corresponde ao peso de 1\\ \mathrm{kg} sob g). Usarei g=9,80665\\ \mathrm{m/s}^{2} quando necessário.
  • Rotação: n=2000\\ \mathrm{rpm}.
Observação: todos os cálculos numéricos serão mostrados passo a passo; as fórmulas usadas serão explicadas quando surgirem.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a fórmula para a velocidade periférica na secção i (com i=1,2):
u_i = \frac{\pi d_i n}{60}.
Explicação: u_i é a velocidade tangencial (periférica) do rotor na linha de raio correspondente ao diâmetro d_i. A fórmula vem de u=\omega r com \omega=2\pi n/60 e r=d/2.
Calculemos u_1 e u_2:
u_1=\frac{\pi\cdot 0{,}160\cdot 2000}{60}=\pi\cdot 5{,}3333\approx 16{,}755\\ \mathrm{m/s},
u_2=\frac{\pi\cdot 0{,}280\cdot 2000}{60}=\pi\cdot 9{,}3333\approx 29{,}3215\\ \mathrm{m/s}.
Agora a área livre de passagem (área meridional) na secção i. A circunferência total é \pi d_i; as palhetas ocupam um comprimento periférico total Z S_i. Assim a largura livre periférica é \pi d_i - Z S_i e a área meridional aproximada:
A_i = (\pi d_i - Z S_i)\, b_i.
Essa expressão assume que S_i é a espessura média de cada palheta medida ao longo da periferia (como dado), e que a passagem disponibilizada ao fluido é a circunferência menos a soma das espessuras das palhetas.
Calculemos A_1 e A_2:
\pi d_1=\pi\cdot 0{,}160\approx 0{,}5026548\\ \mathrm{m},\qquad ZS_1=10\cdot 0{,}005=0{,}05\\ \mathrm{m},
A_1=(0{,}5026548-0{,}05)\cdot 0{,}03\approx 0{,}0135796\\ \mathrm{m}^2.
\pi d_2=\pi\cdot 0{,}280\approx 0{,}8796459\\ \mathrm{m},\qquad ZS_2=0{,}05\\ \mathrm{m},
A_2=(0{,}8796459-0{,}05)\cdot 0{,}021\approx 0{,}0174226\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Agora precisamos relacionar as velocidades do fluido com os ângulos dados. Vou explicar os vetores de velocidades e os ângulos de maneira bem didática.
  • c = velocidade absoluta do fluido (no referencial fixo). Tem componente tangencial c_u e meridional (ou axial) c_m.
  • u = velocidade periférica do rotor (já calculada).
  • w = c - u = velocidade relativa do fluido (referencial ligado ao rotor). A palheta está orientada segundo um ângulo \beta em relação à tangente; esse ângulo é o da velocidade relativa w.
  • \alpha é o ângulo da velocidade absoluta c em relação à tangente (ângulo absoluto).
Relações geométricas (definições):
\tan\alpha = \frac{c_m}{c_u},\qquad \tan\beta = \frac{w_m}{w_u}.
No caso do influxo (seção 1) a componente meridional é w_m=c_m e a componente tangencial relativa pode ser escrita, com convenção de sinais adequada, como w_{u1} = u_1 - c_{u1} (pois o rotor move-se mais rápido que o fluido tangencialmente na entrada típica). Assim, tomamos:
\tan\beta_1 = \frac{c_{m1}}{u_1-c_{u1}}.
Também
c_{u1}=\frac{c_{m1}}{\tan\alpha_1}.
Substituindo e isolando c_{m1} obtém-se (faça-se a manipulação algébrica ou a derivação mental que mostrei):
\boxed{\,c_{m1}=u_1\;\frac{\tan\beta_1\;\tan\alpha_1}{\tan\alpha_1+\tan\beta_1}\,}
Explicação em palavras: essa fórmula vem de juntar as duas definições \tan\alpha_1 e \tan\beta_1 e resolver para a componente meridional c_{m1} em função de u_1 e dos ângulos.

Passo 4

Calculemos c_{m1} numericamente. Primeiro os tangentes:
\tan\alpha_1=\tan 75^\circ\approx 3{,}73205,\qquad \tan\beta_1=\tan 26^\circ\approx 0{,}48773.
Aplicando a fórmula:
c_{m1}=16{,}755\cdot\frac{0{,}48773\cdot 3{,}73205}{3{,}73205+0{,}48773} =16{,}755\cdot\frac{1{,}8190}{4{,}2198}\approx 7{,}223\\ \mathrm{m/s}.
A vazão teórica (ideal, sem perdas volumétricas) é:
Q_{t} = A_1\; c_{m1}\approx 0{,}0135796\cdot 7{,}223\approx 0{,}09820\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Explicação: a vazão é área vezes velocidade meridional.
Agora aplicamos a eficiência volumétrica: a vazão realmente recalcada (entregue) pela bomba é
\boxed{\,Q = \eta_v\; Q_t\,}
Calculando:
Q = 0{,}92\cdot 0{,}09820 \approx 0{,}09034\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Conversões úteis:
Q\approx 0{,}09034\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}=90{,}34\\ \mathrm{L/s} \approx 325{,}2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
(Isto responde o item (a).)

Passo 5

Precisamos obter H_{th} (altura teórica segundo Euler). A fórmula de Euler para máquinas rotodinâmicas, em termos de velocidades na entrada e saída, é
\boxed{\,g H_{th} = u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1}\,}
onde c_{u1} e c_{u2} são as componentes tangenciais da velocidade absoluta nas seções 1 e 2. Explicação: essa é a variação de momento angular por unidade de massa, transformada em energia específica (altura).
Já tínhamos c_{u1}=\dfrac{c_{m1}}{\tan\alpha_1}. Calculamos:
c_{u1}=\frac{7{,}223}{3{,}73205}\approx 1{,}936\\ \mathrm{m/s}.
Para a saída, usamos continuidade meridional (vazão constante): c_{m2}=Q_t / A_2 se quisermos usar a vazão teórica que gerou as condições no interior do rotor. Aqui, como H_{th} é a cabeça teórica associada ao perfil de velocidades ideal do rotor, usamos a vazão teórica Q_t para obter c_{m2}. Assim:
c_{m2}=\frac{Q_t}{A_2}=\frac{0{,}09820}{0{,}0174226}\approx 5{,}638\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: dentro do rotor (perfil teórico) a vazão que passa pelas seções corresponde à vazão teórica usada para obter c_{m1}.
Agora relacionamos c_{u2} com \beta_2. Pela definição do ângulo relativo na saída:
\tan\beta_2=\frac{w_{m2}}{w_{u2}}=\frac{c_{m2}}{u_2-c_{u2}},
logo
\boxed{\,c_{u2}=u_2-\frac{c_{m2}}{\tan\beta_2}\,}.
Calculemos numericamente: \tan\beta_2=\tan 40^\circ\approx 0{,}83910. Assim
c_{u2}=29{,}3215-\frac{5{,}638}{0{,}83910}\approx 29{,}3215-6{,}718\approx 22{,}6035\\ \mathrm{m/s}.
Agora a diferença de produtos:
u_2 c_{u2}-u_1 c_{u1}=29{,}3215\cdot 22{,}6035 - 16{,}755\cdot 1{,}936 \approx 663{,}00 - 32{,}42 \approx 630{,}58\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.
Então a altura teórica:
H_{th}=\frac{u_2 c_{u2}-u_1 c_{u1}}{g}=\frac{630{,}58}{9{,}80665}\approx 64{,}29\\ \mathrm{m}.
(Isto responde o item (b).)

Passo 6

Agora a potência necessária. Vamos organizar as potências e eficiências claramente.
  • Potência hidráulica efetivamente transmitida ao fluido (potência útil) quando a vazão entregue é Q e a altura considerada é H_{th} (usando a cabeça teórica como referência hidráulica) é:
P_{h} = \rho\, g\, Q\, H_{th}.
Explicação: potência hidráulica = massa por tempo ( \rho Q ) × aceleração da gravidade g × altura H.
  • A potência no motor/virabrequim necessária para vencer perdas mecânicas é:
P_{shaft}=\frac{P_{h}}{\eta_m}.
Explicação: \eta_m é a eficiência mecânica (fração da potência do eixo que realmente vai para o fluido, o resto se perde; portanto o eixo deve fornecer mais potência do que a potência hidráulica).
Calculamos P_h usando Q (vazão entregue) e H_{th}:
\rho g = 870\cdot 9{,}80665 \approx 8\,531{,}786\\ \mathrm{N/m^3}.
P_{h}=8\,531{,}786\cdot 0{,}09034\cdot 64{,}29 \approx 49\,580\\ \mathrm{W}\approx 49{,}58\\ \mathrm{kW}.
Então
P_{shaft}=\frac{49{,}580}{0{,}86}\approx 57{,}651\\ \mathrm{W}\approx 57{,}65\\ \mathrm{kW}.
Agora, um motor comercial deve ser escolhido com folga para não operar exatamente no limite. A potência comercial imediatamente acima de 57{,}65\\ \mathrm{kW} normalmente é 60\\ \mathrm{kW}. Assim, a potência elétrica comercial a ser especificada é 60\\ \mathrm{kW} (ou maior, conforme normas locais e fatores de serviço), enquanto a potência mínima requerida do eixo é \approx 57{,}65\\ \mathrm{kW}.
(Isto responde o item (c).)

Passo 7

Por fim, o rendimento total da bomba quando a altura manométrica da instalação é 38\\ \mathrm{m}.
Definição prática usada em bombas (e adotada aqui):
  • Eficiência hidráulica (interno) pode ser tomada como a razão entre a altura manométrica efetiva H e a altura teórica H_{th}:
\eta_{h}=\frac{H}{H_{th}}.
  • Então o rendimento global (total) da bomba é produto das eficiências volumétrica, hidráulica e mecânica:
\boxed{\,\eta_{total}=\eta_v\;\eta_h\;\eta_m=\eta_v\;\eta_m\;\frac{H}{H_{th}}\,.}
Explicação: \eta_v reduz a vazão (perdas por fuga), \eta_h representa perdas hidráulicas internas que reduzem a altura efetiva em relação à teórica, e \eta_m representa perdas mecânicas entre eixo e fluido.
Substituindo H=38\\ \mathrm{m} e H_{th}=64{,}29\\ \mathrm{m}:
\eta_{total}=0{,}92\cdot 0{,}86\cdot\frac{38}{64{,}29} =0{,}92\cdot 0{,}86\cdot 0{,}5913\approx 0{,}4679\approx 0{,}468.
Em porcentagem: \approx 46{,}8\%.
(Isto responde o item (d).)

Resposta

(a) Q=0{,}09034\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} \;=\;90{,}34\\ \mathrm{L/s} \;=\;325{,}2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
(b) H_{th}=64{,}29\\ \mathrm{m}.
(c) Potência mínima no eixo P_{shaft}\approx 57{,}65\\ \mathrm{kW}; escolher motor comercial 60\\ \mathrm{kW}.
(d) Rendimento total \eta_{total}\approx 0{,}468 \;(46{,}8\%).

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